Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

42 PETER JOSSENPuis on a ɛ gh (χ) = χ(gh) = χ(g)χ(h) = ɛ g (χ)ɛ h (χ) et que ɛ e (χ) = χ(e) = 1 pourtout χ ∈ Ĝ, ce qui montre que ɛ gh = ɛ g ɛ h et que ɛ e est le caractère trivial de Ĝ. ɛest donc un homomorphisme algèbrique.Reste à voir la continuité de ɛ. Par 5.5, il suffit de montrer la continuité en e.Prenons un voisinage V de e dans Ĝ. V contient un ouvert du type W (C, ε) pourune partie compacte C de Ĝ et ε > 0. Prenons maintenant un voisinage compactA de e dans G. W (A, ε 2) est un voisinage ouvert de 1 dans Ĝ. C etant compact,on peut trouver un recouvrement ouvert fini χ 1 W (A, ε 2 ), χ 2W (A, ε 2 ), ..., χ nW (A, ε 2 )de C. Soit maintenant U un voisinage de e dans G tel que U ⊆ A et tel qued(χ i (x), 1) < ε 2si x ∈ U pour tout 1 ≤ i ≤ n. Si x ∈ U et χ ∈ C, alors on ad(χ j (x), χ(x)) ≤ ε 2pour un jd(χ j (x), 1) ≤ ε pour tout j2donc d(χ(x), 1) < ε, ou bien d(ɛ x (χ), 1) < ε pour tout χ ∈ C, ce qui est ɛ U ⊆ V . ɛest donc continu.□Lemme 11.3. Si G admet assez de caractères, alors l’homomorphisme de G dansson bidual est injectif et bicontinu, et l’image de G dans Ĝ est fermée.Démonstration. Prenons g ∈ ker ɛ, cet à dire ɛ g (χ) = 1 pour tout χ ∈ Ĝ ou bien,par définition de ɛ que χ(g) = 1 = χ(e) pour tout χ ∈ Ĝ, ce qui montre que g = e.ɛ est donc injectif.Posons pour un compact C dans Ĝ et un voisinage U de 1 dans T :V = {x ∈ G | ɛ x (C) ⊆ U}W = {ɛ x ∈ Ĝ | ɛ x (C) ⊆ U}Ces ensembles fournissent, lorsque C parcourt tous les compacts de Ĝ et U tous lesvoisinages de 1 des systèmes fondamentales de voisinages de e, respectivement deɛ e . Par la définition de ɛ on aɛ V = W ∩ ɛ Gce qui entraine que non seulement ɛ est continu, mais aussi ɛ −1 .L’image de G dans Ĝ est donc un sous-groupe localement compact de Ĝ, vu qu’il estisomorphe à G. Car Ĝ est de Hausdorff, 6.5 permet de conclure qu’il est fermé.Voilà le théorème de dualité dans la forme donnée par Pontriagin. Je donned’abord la démonstration ”usuelle” de ce fait, et apres, pour le cas discret unedémonstration alternative, qui contient essentiellement les mêmes éléments,maisqui utilise le langage les limites projéctives.Lemme 11.4. Soit G un groupe discret ou compact. Alors l’homomorphisme naturelde G dans son bidual est un isomorphisme.Démonstration. Traitons d’abord le cas ou G est discret. Choisissons pour cela unsous-groupe de type fini F ⊆ G. Par ?? on a Ĥ = Ann(Ann(F )), et ɛ restreintà F est exactememnt l’homomorphisme de F dans son bidual. Mais comme F estAbélien de type fini, donc produit de groupes cycliques : F ∼ = Z k ⊕ Z, pour unnaturel k et un groupe Abélien fini Z on a que ɛ| F est un isomorphisme.□