Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

10 PETER JOSSENTheorème 5.12. Soit (G, ·) un groupe (algèbrique) et V une famille de parties deG telle que les conditions suivantes sont satisfaitsI: e ∈ V pour tout V ∈ VII: V est filtrant à droite pour la relation ⊆III: pour tout V ∈ V il existe un U ∈ V tel que UU −1 ⊆ VIV: pour tout V ∈ V et tout a ∈ U il existe un U ∈ V tel que aU ⊆ VV: pour tout V ∈ V et tout a ∈ G il existe un U ∈ V tel que aUa −1 ⊆ VAlors il existe une unique topologie T sur G qui est compatible avec la structurealgèbrique de G et pour laquelle V est un système fondamental de voisinages ouvertesde e. On dira que T prolonge V. De plus, une base pour cette topologie T estdonnée par la famille {gV | g ∈ G, V ∈ V}.Si inversement V est un système fondamental de voisinages ouvertes de e pour unetopologie donnée T, alors V satisfait les conditions (I), (II), (III), (IV), (V), et latopologie prolongeant V coincïde avec T.Démonstration. Verifions d’abord que B = {gV | g ∈ G, V ∈ V} est base pour unetopologie sur G. Pour cela il suffit de monter que B satisfait∪B = X∀B 1 , B 2 ∈ B et ∀x ∈ B 1 ∩ B 2 il existe un B 3 ∈ B tel que x ∈ B 3 ⊆ B 1 ∩ B 2La première condition est remplie, car pour tout a ∈ G et n’importe un V ∈ V ona a ∈ aV ∈ B et donc a ∈ ∪B.Soient B 1 = a 1 V 1 , B 2 = a 2 V 2 deux éléménts de B et x ∈ B 1 ∩B 2 . Pour i = 1, 2 on aque a −1i x ∈ V i . Selon la quatrième condition, il existe U i ∈ V tel que a −1i xU i ⊆ V i .Par la deuxième condition, il existe un U ∈ V tel que U ⊆ U 1 ∩ U 2 . AinsixU ⊆ xU i ⊆ a i V i pour i = 1, 2 et donc x ∈ xU ⊆ B 1 ∩ B 2 . B est donc based’une topologie sur G, qu’on notera T.Voyons maintenant que V est un système fondamental de voisinages ouverts de epour la topologie T. Comme V ⊆ B il suffit de verifier que pour tout aV ∈ Bcontenant e on peut trouver un U ∈ V tel que U ⊆ V . Car a −1 ∈ V , il existed’après la quatrième condition un U ∈ V tel que a −1 U ⊆ V ou bien e ∈ U ⊆ aV .Montrons que la topologie T est compatible avec la strucutre algèbrique de G.Prenons, pour vérifier la continuité du produit deux éléments y, x ∈ G et un voisinagexyU ∈ B de xy. On peut trouver selon la troisième condition un V ∈ Vtel que V 2 ⊆ U, et selon la dernière un W ∈ V tel que y −1 W y ⊆ V . AinsixW yV = xyy −1 W yV ⊆ xyV 2 ⊆ xyU, ce qui montre que le produit est continu.Pour vérifier la continuité de l’inversion prenons un x ∈ G et un voisinage x −1 U ∈ Bde x −1 . Selon la dernière condition on trouve V ∈ V tel que xV x −1 ⊆ U et selonla troisième un W ∈ V tel que W −1 ⊆ W W −1 ⊆ V . Ainsi (xW ) −1 = W −1 x −1 ⊆V x −1 = x −1 xV x −1 ⊆ x −1 U, ce qui nous montre la continuité de l’inversion.(G, ·, T) est donc un groupe topologique. Par construction, la topologie T est latopologie la moins fine pour laquelle V est un système fondamental de voisinagesouverts de e et qui est rend continue les opérations dans G. Si T ′ est une autretopologie qui a ces propriétés, on a necessairement T ⊆ T ′ . Pour avoir l’unicité,montrons que T ′ ⊆ T. Prenons un ouvert non vide O ∈ T ′ . Pour tout x ∈ O, onpeut trouver un V x ∈ V tel que xV x ⊆ O, car x −1 O est un voisinage ouvert de epour T ′ . Ainsi O = ∪ x∈O xV x . Par définition tout les xV x sont des ouverts de T, etalors aussi O.