Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

30 PETER JOSSENet(7.35) f(x) + εω(x) ≥ce qui tient pour tout x ∈ G. 7.34 impliquem∑c j g(t j x)j=1(7.36) (f : g) ≤ ε(ω : g) +m∑j=1En appliquant J aux deux côtes de 7.35 on obtientm∑J(f) + εJ(ω) ≥ J(g)Avec 7.36 et 7.6 on a()(ω : f)(7.37) J(f) + εJ(ω) ≥ 1 − ε (f : g)J(g) ≥ (1 − ε(ω : f)) (f : g)J(g)(f : g)Considerons une fonction non nulle f 1 ∈ C + 00 , et divisons 7.37 par J(f 1).(7.38)j=1J(f)J(f 1 ) + ε J(ω)(f : g)≥ (1 − ε(ω : f))J(f 1 ) (f 1 : g) = (1 − ε(ω : f)) I g(f)I g (f 1 )Cela est vrai pour tout les g ∈ C + 00 tels que supp(g) ⊆ U. Comme montré dans (IV),on peut faire un passage à la limite, ce qui donneJ(f)J(f 1 ) + ε J(ω)I(f)≥ (1 − ε(ω : f))J(f 1 ) I(f 1 )et en faisant ε → 0J(f)J(f 1 ) ≥ I(f)I(f 1 )pour tout f et f 1 ∈ C + 00 . Comme f et f 1 sont arbitraires, on peut changer les rôlesde f et f 1 , pour conclure quepour tout f ∈ C + 00 .J(f) = J(f 1)I(f 1 ) I(f)Il y a une unique extension de I en une forme linéaire sur le C-espace vectorielC 00 . Cette extension est nécessairement invariant par translation à gauche. On notecette extension toujours avec I et on l’appelle ”intégrale de Haar sur G à gauche”.c jc j□8. Théorèmes de StructureLemme 8.1. Soit G un groupe topologique Abélien, H un sous-groupe ouvert de Get D un groupe Abélien divisible. Soit ϕ un homomorphisme de H dans D. Alorsϕ se prolonge sur G tout entier.Démonstration. Par le lemme 2.3 on sait que ϕ s’étend en un homomorphisme ψdéfini sur tout G. Tout ces prolonguements sont aussi continus, car ils sont deshomomorphismes continus sur un voisinage de e, à savoir H.□Lemme 8.2. Soit G un groupe topologique et dénombrable, localement compact etde Hausdorff. Alors G est discret.