Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

34 PETER JOSSENest fermé.Supposons maintenant que G est compact, et montrons que Ĝ est discret. Pour celail suffit de voir que l’ouvert W (G, B 1 ) ne contient que le caractère trivial. Mais cela3est evident car pour tout x ∈ G, le sous-groupe de T donné par{χ(x) | χ ∈ W (G, B 13 )} ⊆ B 1 3est trivial, et donc χ(x) = 1 pour tout χ ∈ W (G, B 1 ) et tout x ∈ G. □3Nous avons déjà maintenant tout les moyennes en main pour décrire le groupedual d’un groupe discret, idem est le groupe des caractères d’un ”groupe algèbrique”.Prenons un groupe discrèt G, et désignons avec F la famille de toutes les sousgroupesde type fini de G. Cet ensemble est ordonné de manière naturelle parl’inclusion, et cet ordre est filtrant à droite, vu que EF est de type fini si E etF le sont. Pour tout sous-groupes de type finis avec E ⊂ F , on a un homomorphismef EF : ̂F → Ê via f EF (χ) = χ| E . On a donc un système projéctif de groupescompacts(F⊆ , ( ̂F ) F ∈F , (f EF ) E⊂F)Ce système projéctif est même strict, car tout caractère sur E ⊂ F peut être étenduen un caractère sur F , ce qui montre que f EF est surjéctif. Pour tout F posonsf F : Ĝ → ̂F via f F (χ) = χ| F . J’affirme que l’application ϕ : Ĝ → lim ̂F F ∈F définiepar ϕ(χ) F = f F (χ) est un isomorphisme. Dans ce sens :Theorème 9.6. Le groupe dual Ĝ d’un groupe discret G est isomorphe à la limiteprojéctive stricte des groupes duaux des sous-groupes de type finis de G :Ĝ ∼ =lim ̂FF de type finiDémonstration. L’application ϕ est clairement un homomorphisme de Ĝ dans lalimite projéctive lim F ̂F . Un caractère χ ∈ Ĝ est dans le noyeau de ϕ si χ| F esttrivial pour tout F ∈ F. Mais comme G = ∪F, on a dans ce cas que χ = χ 0 , ce quinous montre l’injéctivité de ϕ. Reste à voir la surjéctivité. Choisissons ψ ∈ lim F ̂F .Par la définition des bonding maps on a pour tout paire E, F ∈ F avec E ⊂ F queψ F | E = ψ E . Cela nous permet de construire une préimage χ de ψ comme suit :Choisissons pour tout g ∈ G un F ∈ F tel que g ∈ F . Par ce qui précède, ψ F (g)ne depend pas du choix de F . On peut donc définir χ(g) = ψ f (g). Pour vérifierque χ est un caractère, prenons g, h ∈ G, et un sous-groupe F de G de type finicontenant g et h. Ainsi χ(gh) = ψ F (gh) = ψ F (g)ψ F (h) = χ(g)χ(h). Clairementon a χ| F = ψ F , et donc ϕ(χ) = ψ. Ainsi ϕ est bijéctive et un isomorphisme degroupes.La continuité de ϕ et ϕ −1 est une consequence immediate des définitions. □Supposons maintenant que G est limite projéctive stricte de groupes Abélienscompacts : G = lim j∈J G j , avec applications de limite h j : G → G j . Tout caractèreχ : G j → T donne un caractére sur G par composition avec l’appplication limiteχ ◦ h j : G → T. Car h j est surjéctive, on a injéctivité deι : Ĝj → Ĝ défini par χ ↦→ χ ◦ h jDans ce sens, nous identifions Ĝi à un sous-groupe de Ĝ, et osons écrire Ĝj ⊆ Ĝ.Avec cette convention, nous avons