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32 PETER JOSSENOn remarque que d(x, y) ≤ 1 2 pour tout x, y ∈ T. Pour δ ≥ 0 on note B δ la bouleouverte de centre 1 er de rayon δ dans l’espace métrique T. Il est tout a fait clairque pour tout δ, δ ′ ∈ R on a B δ B δ ′ = B δ+δ ′, et que B δ −1 = B δ .Comme déjà défini, un caractère sur un groupe est un homomorphisme de ce groupevers T. Il est tout a fait possible de définir un caractère comme homomorphismedans R/Z, vu l’isomorphisme. Le seul avantage ou désavantage selon la situationest qu’on est habitué de noter T multiplicativement et R/Z additivement.Retenons le fait utile queProposition 9.1. Un sous-groupe de T contenu dans B 13ce qui est facil à voir. En effet, 1 3assertion est vraie.est trivial.est le plus grand nombre pour lequel cetteDéfinition 9.2. Soit G un groupe topologique. On appelle l’ensemble de tout lescaractères continus sur G, muni du produit ponctuel, le groupe dual de G. On lenote ĜIl est tout a fait clair que l’ensemble de tout les caractères continus sur G, munidu produit ponctuel, forme un groupe Abélien. C’est un sous-groupe du groupe descaractères sur G. L’unité de Ĝ est donc le caractère trivial qui vaut 1 sur tout G(ce qui montre en passant que l’ensemble n’est pas vide).On aimerait maintenant construire une topologie avec des bonnes propriétés surĜ. Une, qui est compatible avec les operations dans Ĝ, i.e. telle que Ĝ devientun groupe topologique, et qui contient un maximum d’information possible surla strucure de G. La nature des choses le veut qu’il n’y a qu’un choix : C’est latopoloqie de la convergence locale uniforme. (A expliciter...)Theorème 9.3. Soit G un groupe topologique Abélien localement compact. La familleV = ⋃ }{{χ ∈ Ĝ | χ(A) ⊆ U}A,Uou A parcourt les parties compactes de G et U un système fondamental U de 1 dansT est un système fondamental de l’unité pour une topologie sur Ĝ. Ĝ muni de latopologie prolongeant V (selon 5.12) est un groupe topologique Abélien localementcompact.Démonstration. Vérifions que V satisfait les conditions du théorème 5.12. Pourcela, il est commode de noterW (A, U) = {χ ∈ Ĝ | χ(A) ⊆ U}On remarque que W (A, U 1 )W (A, U 2 ) ⊆ W (A, U 1 + U 2 ) et que W (A, U) −1 =W (A, U −1 ). Il est aussi une consequence directe de la définition de W que A 1 ⊆ A 2entraine W (A 1 , U) ⊇ W (A 2 , U) et que U 1 ⊆ U 2 entraine W (A, U 1 ) ⊆ W (A, U 2 )Avec ça, on vérifie aisement les points (I) à (V) du théorème 5.12 :I: est clair car χ 0 (G) = {1} ⊂ U pour tout U ∈ UII: aussi, car W (A 1 ∪ A 2 , U 1 ∩ U 2 ) ⊆ W (A 1 , U 1 ) ∩ W (A 2 , U 2 )III: est vrai car W (A, δ 2 )W (A, δ 2 )−1 ⊆ W (A, δ)IV: car χW (A, δ − max{χ(A)}) ⊆ W (A, δ) pour tout χ ∈ W (A, δ)V: automatiquement, car Ĝ est commutatif.