Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

GROUPES TOPOLOGIQUES 11Il est une consequence immediate des définitions qu’un système fondamental V devoisinages ouverts de e dans un groupe topologique (G, ·, T) a les propriétés (I), (II),(III), (IV) et (V). Par l’unicité qu’on vient de montrer, la topologie prolongeant Vest T.□Proposition 5.13. Si un groupe topologique G agit continument sur un espacetopologique X, et si x ∈ X est un point fixe pour cette action, alors x admet unsystème fondamental de voisinages G-invariantes. Plus explicitement, si U est unvoisinage de x, alorsV = ⋂gUg∈Gest un voisinage G-invariant de x contenu dans U.Démonstration. Choissisons x un point fixe, U un voisinage ouvert de x, et construisonsV comme ci-dessus. Si V n’est pas un voisinage de x, alors on trouve pourtout voisinage W de x un élément g W tel que W \g W U ≠ ∅, et donc aussi unpoint x W ∈ W tel que g −1W x W /∈ U. Par compacité de G, la limite génégaliséedes g W admette une sous-suite (g W (j) ) j∈J convergeante vers un certain g ∈ G. Parconstruction, et par le fait que X est de Hausdorff, la suite (x W (j) ) j∈J converge et acomme unique limite x. Par continuité de l’action, la suite (g −1W (j) x W (j)) j∈J convergevers g −1 x. On a g −1 x = x, vu que x est un point fixe. Aaaber : g −1W (j) x W (j) /∈ Uund so g −1 x = x /∈ U. Widerspruch !□Corollaire 5.14. Si G est un groupe topologique compact, et U un voisinage de edans G, alorsV = ⋂gUg −1g∈Gest un voisinage de e invariant sous tout les automorphismes interieurs de G.Démonstration. e est un point fixe pour l’action continue (g, x) → gxg −1 de G surlui même.□6. Sous-groupes topologiques, quotients et produitsDeux définitions de ”sous-groupe d’un groupe topologique” sont courantes. Lapremière appelle (H, ·, T ′ ) un sous groupe topologique du groupe topologique (G, ·, T)si (H, ·) est un sous groupe de (G, ·), T ′ designant la topologie induite (p.ex. Hewitt& Ross). D’autres auteurs (p.ex. Pontriagin) exigent de plus que H est fermé dansG pour T.Il faut remarquer qu’il est possible d’avoir un sous groupe H de G non fermé. (Parexemple Q dans R). Pour pouvoir formuler aisement les résultats les plus générals,on choisit la première version :Définition 6.1. Soit (G, ·, T) un groupe topologique. On appelle (H, ·, T ′ ) un sousgroupe topologique de (G, ·, T) si (H, ·) est un sous groupe de (G, ·) et T ′ la topologieinduite par T sur H. On dira que le sous groupe H est ouvert / fermé / compact /... si le sous-ensemble H de G est ouvert / fermé / compact / ... dans G pour T.Proposition 6.2. Soit G un groupe topologique et H un sous groupe de G. AlorsH muni de la topologie induite par G est un groupe topologique.