Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

22 PETER JOSSENDémonstration. La preuve se partage en cinq étapes. Après une étape préliminaireI, on enoncera deux lemmes techniques, l’étape IV prouve l’existence, V l’unicitéde I.(I) Commencons avec deux fonctions f et ϕ dans C + 00 , avec ϕ ≠ 0. On cherche àéstimer f en fonction de ϕ. Considerons pour cela tout les suites finies {s 1 , s 2 , ..., s m }dans G et tout les suites finies {c 1 , c 2 , ..., c m } de nombres réels positifs tels qu’on am∑(7.1) f(x) ≤ c j ϕ(s j x) pour tout x ∈ Gj=1Voyons que ça existe :Comme f est continue à support compact, elle est bornée. Soit F une partie compactede G telle que f est nul en dehors de F . Soient de plus a ∈ G et U unvoisinage de e et µ un nombre réel positif tel que ϕ(x) > µ pour tout x ∈ aU. (Toutcela existe car ϕ est continue et non nulle.) Comme F est compact, il existentdes y 1 , y 2 , ..., y m0 ∈ F tels que y 1 U, y 2 U, ..., y m0 U recouvrent F . Si x /∈ supp(f),l’inégalité est triviale. Si x ∈ supp(f) ⊆ F , x se trouve dans un y j0 . Il est maintenantfaçile à voir quef(x) ≤ ‖f‖ ∞µ ϕ(ay−1 j 0x) ≤∑m 0j=1‖f‖ ∞µ ϕ(ay−1 j x)pour tout x dans G.Definissons (f : ϕ) comme etant l’infimum de tout les sommes ∑ mj=1 c j de réels c jpour lesquels l’inégalité 7.1 a lieu. D’après ce qui prècede (f : ϕ) est bien defini etinferieur à m0µ ‖f‖ ∞ . D’autre part on a, si 7.1 a lieu que ‖f‖ ∞ ≤ ∑ mj=1 c j||ϕ|| ∞ , cequi donne en résumé(7.2)||f|| ∞≤ (f : ϕ) ≤ m 0||f|| ∞||ϕ|| ∞ µLes trois assertions suivantes sont triviales :(7.3)(7.4)(7.5)( a f : ϕ) = (f : a ϕ) = (f : ϕ) pour tout a ∈ G;(αf : ϕ) = α(f : ϕ) pour tout α ∈ R;(f 1 + f 2 : ϕ) ≤ (f 1 : ϕ) + (f 2 : ϕ) pour tout f 1 , f 2 ∈ C + 00De plus, si ϕ et ψ sont des fonctions non nuls de C + 00 , on a que(7.6) (f : ψ) ≤ (f : ϕ)(ϕ : ψ)ce qui se montre de façon directe : Si f(x) ≤ ∑ mj=1 c jϕ(s j x) pour tout x ∈ G etϕ(y) ≤ ∑ mk=1 d kψ(t k y) pour tout y ∈ G, alorsm∑ ∑m m∑ m∑f(x) ≤ d k ψ(t k s j y) = c j d k ψ(t k s j y) pour toutx ∈ GAinsij=1c jk=1(f : ψ) ≤m∑j=1 k=1j=1 k=1⎛ ⎞ (m∑m∑ m)∑c j d k = ⎝ c j⎠ d kce qui montre 7.6.Fixons maintenant une fonction f 0 dans C + 00 (qui restera la même au cours du restej=1k=1