Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

36 PETER JOSSENcontinu de G dans T, car c’est une composition d’homomorphismes continus. On adonc bien que ̂f(ψ) ∈ Ĝ. Vu quêf(ψ 1 ψ 2 )(x) = ψ 1 (f(x))ψ 2 (f(x)) = ̂f(ψ 1 )(x) ̂f(ψ 2 )(x)pour tout x ∈ G on a ̂f(ψ 1 ψ 2 ) = ̂f(ψ 1 ) ̂f(ψ 2 ). De même on âf(ψ 0 )(x) = ψ 0 (f(x)) = 1pour tout x ∈ G ce qui montre que ̂f(ψ 0 ) = χ 0 . ̂f est donc un homomorphisme.Pour établir la continuité de ̂f, prenons un ouvert W (C, U) dans Ĝ. J’affirme queψ ∈ W (f(C), U) entraine que ̂f(ψ) ∈ W (C, U). En effetψ ∈ W (f(C), U) =⇒ ψ(f(C)) ⊆ U =⇒ ̂f(ψ(C)) ⊆ U =⇒ ̂f(ψ)) ∈ W (C, U)ce qui montre la continuité de ̂f, car les W (C, U) forment un système fondamentalde la topologie sur Ĝ.(II) Supposons que f est surjéctif. Alors ̂f est injéctif, vu quêf(ψ) = χ 0 =⇒ ψ(f(x)) = 1 ∀x ∈ G =⇒ ψ(y) = 1 ∀y ∈ H =⇒ ψ = ψ 0Reste à voir la continuité de ̂f −1 . Prenons un ouvert W (C ′ , U) dans Ĥ, et choisissonsun compact C dans G tel que C ′ ⊆ f(C). J’affirme que ̂f(ψ) ∈ W (C, U)entraine que ψ ∈ W (C ′ , U). En effet̂f(ψ) ∈ W (C, U) =⇒ ψ(f(C)) ⊆ U =⇒ ψ(C ′ ) ⊆ U =⇒ ψ ∈ W (C ′ , U)ce qui montre la continuité de ̂f, car les W (C ′ , U) forment un système fondamentalde la topologie sur Ĥ(III) ⊆ : Choisissons un x ∈ ker f. A voir que pour tout ψ ∈ Ĥ on a ̂f(ψ)(x) = 1.Mais evidamment ̂f(ψ)(x) = ψ(f(x)) = ψ(e) = 1.⊇ : Choisissons un x ∈ Ann G ( ̂f(Ĥ)). A voir que x ∈ ker f. Or ̂fψ(x) = ψ(f(x)) = 1pour tout ψ ∈ Ĥ on a d’après 10.13 que f(x) = e, i.e. x ∈ ker f.(IV) ⊆ : Choisissons ψ ∈ Ĥ et montrons que ̂f(ψ)(x) = 1 pour tout x ∈ ker f.Effectivement ̂f(ψ)(x) = ψ(f(x)) = ψ(e) = 1.⊇ : Choisissons χ ∈ Ann(ker f). χ est donc constant sur les classes modulo ker f,ce qui permet de définir ψ(y) = χ(f −1 (y))□Lemme 9.13. Soit H un sous-groupe topologique de G. Alors on a des isomorphismescanoniquesĤ ∼ = Ĝ/Ann(H)Ĝ/H ∼ = Ann(H)10. Analyse harmoniquePour ce chapitre on se fixe un groupe topologique localement compact G. Onécrira C + 00 , L1 , ... au lieu de C + 00 (G), L1 (G), ...Le resultat principal du chapitre précédent est que le groupe dual de G est localementcompact. Dans ce cas, les deux groupes G et Ĝ admettent une integrale deHaar. Le théorème d’inversion de Fourier, resultat central de ce chapitre, exprimecomment ces deux intégrales sont liées.