Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

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36 PETER JOSSENcontinu de G dans T, car c’est une composition d’homomorphismes continus. On adonc bien que ̂f(ψ) ∈ Ĝ. Vu quêf(ψ 1 ψ 2 )(x) = ψ 1 (f(x))ψ 2 (f(x)) = ̂f(ψ 1 )(x) ̂f(ψ 2 )(x)pour tout x ∈ G on a ̂f(ψ 1 ψ 2 ) = ̂f(ψ 1 ) ̂f(ψ 2 ). De même on âf(ψ 0 )(x) = ψ 0 (f(x)) = 1pour tout x ∈ G ce qui montre que ̂f(ψ 0 ) = χ 0 . ̂f est donc un homomorphisme.Pour établir la continuité de ̂f, prenons un ouvert W (C, U) dans Ĝ. J’affirme queψ ∈ W (f(C), U) entraine que ̂f(ψ) ∈ W (C, U). En effetψ ∈ W (f(C), U) =⇒ ψ(f(C)) ⊆ U =⇒ ̂f(ψ(C)) ⊆ U =⇒ ̂f(ψ)) ∈ W (C, U)ce qui montre la continuité de ̂f, car les W (C, U) forment un système fondamentalde la topologie sur Ĝ.(II) Supposons que f est surjéctif. Alors ̂f est injéctif, vu quêf(ψ) = χ 0 =⇒ ψ(f(x)) = 1 ∀x ∈ G =⇒ ψ(y) = 1 ∀y ∈ H =⇒ ψ = ψ 0Reste à voir la continuité de ̂f −1 . Prenons un ouvert W (C ′ , U) dans Ĥ, et choisissonsun compact C dans G tel que C ′ ⊆ f(C). J’affirme que ̂f(ψ) ∈ W (C, U)entraine que ψ ∈ W (C ′ , U). En effet̂f(ψ) ∈ W (C, U) =⇒ ψ(f(C)) ⊆ U =⇒ ψ(C ′ ) ⊆ U =⇒ ψ ∈ W (C ′ , U)ce qui montre la continuité de ̂f, car les W (C ′ , U) forment un système fondamentalde la topologie sur Ĥ(III) ⊆ : Choisissons un x ∈ ker f. A voir que pour tout ψ ∈ Ĥ on a ̂f(ψ)(x) = 1.Mais evidamment ̂f(ψ)(x) = ψ(f(x)) = ψ(e) = 1.⊇ : Choisissons un x ∈ Ann G ( ̂f(Ĥ)). A voir que x ∈ ker f. Or ̂fψ(x) = ψ(f(x)) = 1pour tout ψ ∈ Ĥ on a d’après 10.13 que f(x) = e, i.e. x ∈ ker f.(IV) ⊆ : Choisissons ψ ∈ Ĥ et montrons que ̂f(ψ)(x) = 1 pour tout x ∈ ker f.Effectivement ̂f(ψ)(x) = ψ(f(x)) = ψ(e) = 1.⊇ : Choisissons χ ∈ Ann(ker f). χ est donc constant sur les classes modulo ker f,ce qui permet de définir ψ(y) = χ(f −1 (y))□Lemme 9.13. Soit H un sous-groupe topologique de G. Alors on a des isomorphismescanoniquesĤ ∼ = Ĝ/Ann(H)Ĝ/H ∼ = Ann(H)10. Analyse harmoniquePour ce chapitre on se fixe un groupe topologique localement compact G. Onécrira C + 00 , L1 , ... au lieu de C + 00 (G), L1 (G), ...Le resultat principal du chapitre précédent est que le groupe dual de G est localementcompact. Dans ce cas, les deux groupes G et Ĝ admettent une integrale deHaar. Le théorème d’inversion de Fourier, resultat central de ce chapitre, exprimecomment ces deux intégrales sont liées.
GROUPES TOPOLOGIQUES 37Définition 10.1. Soient f, g deux fonctions intégrables sur tout compact de Gpour une mesure de Haar dy sur G. On définit le produit de convolution∫f ∗ g(x) = f(y)g(y −1 x)dypour tout x ∈ G pour lesquels cette quantité existe.Proposition 10.2. Les assertions suivantes sont vraies :I: Si f ∗ g(x) existe, alors g ∗ f(x) aussi et f ∗ g(x) = f ∗ g(x).II: Si f ∈ L 1 et g ∈ L ∞ , alors f ∗ g est borné et uniformement continu.III: Si f, g ∈ C 00 , alors f ∗ g ∈ C + 00 et supp(f ∗ g) ⊆ supp(f)supp(g)IV: Pour 0 < p < ∞, 1/p + 1/q = 1, f ∈ L p , g ∈ L q on a f ∗ g ∈ C 0 .V: Si f, g ∈ L 1 , alors f ∗ g existe Haar-presque partout et de plus on al’inégalité ‖f ∗ g‖ 1≤ ‖f‖ 1‖g‖ 1.VI: Si f, g, h ∈ L 1 , alors (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).VII: Si G est Abélien et f ∗ g(x) existe, alors f ∗ g(x) = g ∗ f(x)Démonstration. Tout par calcul direct.Définition 10.3. On appelle une fonction φ sur G ”définie positive” si elle estcontinue, et si pour tout c 1 , c 2 , ..., c n ∈ C et tout x 1 , x 2 , ..., x n ∈ G on an∑c i φ(x −1i y j )c j ≥ 0i,j=1On note P 0 l’ensemble des fonctions φ de type positif avec ‖φ‖ ∞≤ 1, et P l’ensemblede tout les combinaisons linéaires complexes de fonctions définies positifes.Voyons tout de suite les propriétés fondamentales de ces fonctions :Proposition 10.4. Soit φ, ψ des fonctions définies positives sur G, et c ≥ 0 unnombre réel. Alors les assertions suivantes sont vraies :I: Les fonctions φ + ψ, φ et cφ sont definies positives.II: φ(x −1 ) = φ(x)III: |φ(x)| ≤ φ(0) pour tout x ∈ GIV: ∫∫ f(x)φ(x −1 y)f(y)dxdy ≥ 0Démonstration. La première assertion s’obtient par calcul direct. Pour la deuxième,il suffit de choisir x 1 = x et x 2 = e, car ainsic 1 φ(e)c 1 + c 1 φ(x −1 )c 2 + c 2 φ(x)c 1 + c 2 φ(e)c 2 ≥ 0c 1 φ(e)c 1 + c 1 φ(x −1 )c 2 + c 2 φ(x)c 1 + c 2 φ(e)c 2 ≥ 0Les fonctions définies positives ont plusieurs aspects interessants. Un premier estcelui-ci : Pour deux fonctions f et g ∈ C 00 , et une fonction définie positive φ fixéeécrivons∫∫[f, g] φ = f(x)φ(x −1 y)g(y)dxdyC’est une forme sésquilinéaire définie positive sur l’espace vectoriel C 00 . NotonsK φ le sous-espace vectoriel {f ∈ C 00 | [f, f] φ = 0}, et notons f la classe de la□□
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Page 8 and 9: 8 PETER JOSSENDémonstration. L’a
Page 10 and 11: 10 PETER JOSSENTheorème 5.12. Soit
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Page 14: 14 PETER JOSSENque y −1 W y ∈ V
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Page 24 and 25: 24 PETER JOSSENet(7.15) |g(s) − g
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Page 30 and 31: 30 PETER JOSSENet(7.35) f(x) + εω
Page 32 and 33: 32 PETER JOSSENOn remarque que d(x,
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Page 38 and 39: 38 PETER JOSSENfonction f ∈ C 00
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Page 42 and 43: 42 PETER JOSSENPuis on a ɛ gh (χ)
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Page 46 and 47: 46 PETER JOSSENComme B(0, 1) est co

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