Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

26 PETER JOSSENdehors de U. Alors pour tout α > ε on peut trouver m ∈ N, des nombres réels nonnégatives c 1 , c 2 , ..., c m non tous nuls et des éléments t 1 , t 2 , ..., t m dans E −1 tels que(7.20)m ∣ f(x) − ∑c j g(t j x)∣ ≤ α pour tout x ∈ Gj=1Pour le prouver, notons d’abord que pour tout x ∈ G on a(7.21) (f(x) − ε)g(s −1 x) ≤ f(s)g(s −1 x) ≤ (f(x) + ε)g(s −1 x)car si s −1 x ∈ U on a |f(x) − f(s)| < ε, et si s −1 x /∈ U on a g(s −1 x) = 0. Choisissonsmaintenant un nombre réel η tel que 0 < η < α−ε(f:g), et un voisinage compact V de etel que |g(u) − g(v)| < η pour tout u, v ∈ G tels que uv −1 ∈ V . Comme f s’annulleen⋃dehors du compact E, on peut trouver des éléments s 1 , s 2 , ..., s m ∈ E tels quemj=1 s jV ⊃ E ⊃ supp(f). Par 3.7 (Partitions de l’Unité) il existent des fonctionsh∑ 1 , h 2 , ..., h m ∈ C + 00 telles que supp(h j) ⊂ s j V pour tout 1 ≤ j ≤ m et telles quemj=1 h j(x) = 1 si f(x) ≠ 0. On a pour tout x, s ∈ G et pour tout 1 ≤ j ≤ m(7.22) h j (s)f(s)(g(s −1 x) − η) ≤ h j (s)f(s)g(s −1j x) ≤ h j (s)f(s)(g(s −1 x) + η)car si s −1js = (s −1jx)(s −1 x) −1 ∈ V , alors ∣ ∣g(s −1 x) − g(s −1jon a s /∈ s j V et alors h j (s) = 0.On somme l’inégalité 7.22 sur j pour obteniret en vertu de 7.21f(s)(g(s −1 x) − η) ≤(f(x) − ε)g(s −1 x) − ηf(s) ≤m∑j=1m∑j=1x) ∣ < η et si s −1j s /∈ Vh j (s)f(s)g(s −1j x) ≤ f(s)(g(s −1 x) + η)h j (s)f(s)g(s −1j x) ≤ (f(x) + ε)g(s −1 x) + ηf(s)Considerons maintenant ψ ∈ C + 00 non nul. D’apres les propriétés 7.9 à 7.12 de I ψon a⎛⎞m∑(7.23) (f(x)−ε)I ψ (ǧ)−ηI ψ (f) ≤ I ψ⎝ h j fg(s −1j x) ⎠ ≤ (f(x)+ε)I ψ (ǧ)+ηI ψ (f)Les relations 7.6 et 7.7 impliquent quej=1I ψ (f)β − α≤ (f : ǧ) =I ψ (ǧ) ηoù β = η(f : ǧ) + ε < α. Si on divise 7.23 par I ψ (ǧ), on arrive à⎛⎞m∑ g(s −1(7.24) f(x) − β ≤ I ψ⎝j x)I ψ (ǧ) h jf⎠ ≤ f(x) + βj=1Utilisons maintenant le résultat de la deuxème étape de la preuve, à savoir 7.13,en choisissant δ = α − β, ∆ = (f 0 : ǧ) ‖g‖ ∞, λ j = g(s−1j x)I ψ (ǧ), et f j = h j f. On peut