Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

12 PETER JOSSENDémonstration. Il suffit de voir que les applications (x, y) ↦→ xy et x ↦→ x −1 sontcontinues dans H. Mais cela est clair, car il s’agit de réstrictions de fonctions continus.□Proposition 6.3. Soit H un sous-groupe d’un groupe topologique G. Alors H, lafermeture de H est aussi un sous-groupe de G.Démonstration. Clair, car H H ⊆ H et H −1 = H −1 , par la proposition 5.8.Proposition 6.4. Un sous-groupe ouvert d’un groupe topologique est aussi fermé.(non, ce n’est pas une contradiction)Démonstration. Soit G un groupe topologique et H un sous-groupe ouvert de G.G\H est la réunion de toutes les classes à gauche de H differentes de H, donc unouvert. H est alors fermé.□Proposition 6.5. Soit G un groupe topologique de Hausdorff et H un sous-groupelocalement compact de G. Alors H est fermé. En particulier tout sous-groupe discretde G est fermé.Démonstration. Choisissons un voisinage compact C de e dans H. Il existe unvoisinage V de e dans G tel que C = V ∩ H. L’ensemble C = V ∩ H est fermé dansG (car dans un espace de Hausdorff tout compact est fermé). Choisissons de plusun voisinage U de e dans G tel que U 2 ⊆ V .Pour tout x ∈ H on a x −1 ∈ H, car H est un sous-groupe de G. Par consequent ilexiste y ∈ Ux −1 ∩ H ≠ ∅. Il suffit maintenant de montrer que yx ∈ H, car, commey ∈ H, cela implique x ∈ H, et par suite que H = H.Pour cela, montrons que yx adhére à V ∩ H. Comme V ∩ H est fermé, on auraxy ∈ V ∩H ⊆ H. Soit donc W n’importe un voisinage de yx. L’ensemble y −1 W ∩xUest un voisinage de x, et comme x ∈ H, on peut trouver z ∈ y −1 W ∩ xU ∩ H. Enmultipliant avec y cela donne yz ∈ W , mais aussi yz ∈ Ux −1 xU = U 2 ⊆ V etyz ∈ H. En résumé yh ∈ W (∩V ∩ H) ≠ ∅, ce qui termine la preuve.□Définition 6.6. On dira qu’un groupe topologique G est généré par un voisinagede l’unité V , si∞⋃G = V nn=1et que G est compactement généré, si G est généré par un voisinage compact del’unité.Proposition 6.7. Soit G un groupe topologique et V un voisinage de e. Alorsl’emsemble∞⋃H = V nest un sous-groupe ouvert et fermé de G.n=1Démonstration. Il suffit de voir que H est un sous-groupe ouvert. H est stable parconstruction, et pour tout h ∈ H, hV est un voisinage de h contenu dans H parconstruction. H est ainsi voisinage de tout ses points, donc ouvert.□Proposition 6.8. Tout groupe topologique connexe est généré par n’importe unvoisinage de l’unité.□