Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

4 PETER JOSSENDéfinition 3.2. Un espace topologique est dit T 0 , si pour tout points distinctsx, y ∈ X il existe un voisinage de x ne contenant pas y ou bien un voisinage de yne contenant pas x.Proposition et Définition 3.3. Les conditions suivantes sont équivalentes pourtout espace topologique X, et on dira que X est T 1 si ils sont vraies pour X.I: Tout singleton {x} ⊆ X est fermé.III: Pour tout point x et tout point y ≠ x de X il existe un voisinage de x necontenant pas y.II: L’intersection de tout les voisinages de x consiste en {x} seulement, pourtout x ∈ X.Démonstration. (I) =⇒ (II) : Soient x, y ∈ X. Par hypothèse y est fermé. X\{y}est alors un ouvert contenant x mais pas y, et donc un voisinage de x ne contenantpas y.(II) =⇒ (III) : Soit x ∈ X, y ∈ X et y ≠ x. Il existe alors un voisinage de x necontenant pas y. y n’est donc pas dans l’intersection de tout les voisinages de x.Ceci etant vrai pour tout y ≠ x, on a que l’intersection de tout les voisinages de xconsiste en {x} seulement.(III) =⇒ (I) : Supposons que y adhère à x. Tout voisinage de y contient doncx, et x se trouve alors dans l’intersection de tout les voisinages de y. L’hypothèsepermet de conclure que x = y, ce qui montre que y ∈ {x}. {x} est donc fermé. □Définition 3.4. Un espace topologique X est apellé T 2 ou de Hausdorff si pourtout points x, y ∈ X avec x ≠ y il existent des voisinages V x de x et V y de ydisjointes.Proposition et Définition 3.5. Tout espace topologique T 0 et T 3 est de Hausdorff.(La réciproque est fausse). Un tel espace est appellé régulier.Démonstration. Prenons x, y ∈ X, et supposons sans perte de généralisation qu’ilexiste un voisinage V x de x qui ne contient pas y (quitte à permuter x et y). Parrégularité, V x contient un voisinage fermé F x de x. Le complement de F x ext unouvert qui contient y, donc un voisinage de y, qui est clairement disjoint du voisinageF x de x.□Voici le célèbre lemme d’Urysohn, qu’on démontra pour être plus complet.Lemme et Definition 3.6. Les conditions suivantes sont équivalentes pour toutespace topologique X, et on dira que X est complétement régulier ils sont vraiespour X.I: Pour tout paire de fermés disjoints F , G dans X il existent des voisinagesV F de F et V G de G disjointes.II: Pour tout ouvert O de X et tout fermé F contenu dans O, il existe unvoisinage fermé de F contenu dans UIII: Pour tout paire de fermés disjoints F , G dans X il existe une fonctioncontinue sur X à valeurs dans [0, 1] qui vaut 0 sur F et 1 sur G.Démonstration. (I) =⇒ (II) : Soit F un fermé contenu dans l’ouvert U. F etX\U sont donc des fermés disjoints, ce qui entraine par hypothèse qu’il existent