Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

14 PETER JOSSENque y −1 W y ∈ V . xW N et V yN sont des voisinages de xN et yN respectivement.AinsixW (V y) −1 N = xW y −1 V −1 N ⊆ xy −1 V yy −1 V N = xy −1 V 2 N ⊆ xy −1 UNce qui montre que l’operation dans G/H est compatible avec la topologie quotient.π est continu vu que la topologie sur G/N est la topologie finale par π. Reste à voirque π est ouverte : Prenons un ouvert O ⊆ G. On a π −1 (π(O)) = NO. Mais NOest ouvert, et alors aussi NO = π(NO) = π(O).G/N est discret si et seulement si l’unité de G/N, à savoir N est ouvert, et deHausdorff si et seulement si l’unité de G/N est fermée.□Proposition 6.13. Soit G un groupe topologique et N un sous groupe normalcompact de G. La projéction canonique est alors fermée.Démonstration. Soit F fermé dans G. Alors π(F ) = NF , ce qui est un ensemblefermé de G/H vu la proposition 5.6□Proposition 6.14. Soit G un groupe topologique et C la composante connexe dee. Alors G/C est totalement disconnexe.Démonstration. Ce quotient est bien défini, car C est un sous-groupe normal deG. □Proposition 6.15. Soit G un groupe topologique localement compact et N normaldans G. Alors G/N est localement compact.Démonstration. Soit V un voisinage compact de e dans G. Alors π(V ) est compactcar image d’un compact par une application continue, et un voisinage de N, unitéde G/N, car image d’un voisinage par une application ouverte.□Lemme 6.16. Soit G un groupe topologique normal, et H un sous-groupe ferméde G (non nécessairement normal). Alors le semi-groupe G/H est un espace topologiquenormal.Ceci est le Théorème 10 de Pontriagin.Démonstration. Soit U un ouvert de G/H et F un fermé de G/H contenu dans U.Notons f la projéction canonique de G sur G/H. Comme U est ouvert et f continu,f −1 (U) est ouvert dans G.□Voyons maintenant quelques propriétes des produite de groupes topologiques. Jerappelle que la topologie produit sur un produit d’espaces topologiques ∏ j∈J X jest définie à partir de la base⎧ ∣ ⎫⎨ ∣∣∣∣∣∏⎬B = O⎩ j O j ouvert dans X j et {j ∈ J | V j ≠ X j } fini⎭j∈JLorsque dans la suite on parlera d’ouverts ou de voisinages dans un produit, onsuppose dans perte de généralisation qu’ils sont de cette forme, afin d’éviter des”...OestouvertetcontientdoncunélémentdelabaseBquiestdelaforme...”.