Groupes topologiques - Peter Jossen.pdf - CQFD

20 PETER JOSSEN(II) Tout les ker f j sont des sous-groupes normaux fermés et donc compacts deG. Les relations i, j ≤ k impliquent ker f k ⊆ ker f i ∩ ker f j . L’ensemble N est doncbase d’un filtre. Pour tout j ∈ J nous avons ker f j = f −1j (e Gj ⊆ f −1j (V j ) pourtout V j ∈ V j . Comme la famille {f −1j (V j ) | j ∈ J et V j ∈ V j } est un systèmefondamental de voisinages de e G , on a que {e G } est exactement la limite du filtreN.(III) : Definissons ϕ : G → ∏ N∈N G/N par ϕ(g) N = gN. C’est clairementune application ouverte continue. Pour qu’un élément x ∈ ∏ N∈NG/N est danslim n∈N G/N il faut et il suffit que pour tout paire M ⊂ N on a f NM (x M M) = x N N,ce qui est x −1N x M ∈ N. Cela montre que ϕ atterrit dans le bon ensemble, cet à direϕ : G → lim N∈N G/N. Comme ker ϕ = ∩N = {e G } on a injéctivité de ϕ.Prenons x ∈ lim N∈N G/N. La famille {x N N | N ∈ N} est base d’un filtre constituéd’ensembles fermés dans G, car M ⊂ N implique x −1N x M ∈ N et donc aussi quex M ∈ x N N ∩ x M M. Vu la compacité de G, il existe un point de limite g pour cefiltre. Pour ce point de limite, on a l’équivalence g ∈ g N N ⇐⇒ gN = g N N, etainsi ϕ(g) = x, ce qui montre la surjéctivité de ϕ.(IV) Si nous définissons f N (x) = x N N, alors nous avons π N = f N ◦ ϕ comme ille faut, ce qui démontre le dernier point.□Theorème 6.26. Soit G un groupe topologique localement compact de Hausdorff.Alors on a equivalence entre (I) et (II). Si G est compact, on a de plus équivalenceavec (III) et (IV) :I: Il existe un système fondamental de voisinages ouvertes de e constitué desous-groupes ouvertes.II: G est totalement disconnect.III: Il existe un système fondamental de voisinages ouvertes de e constitué desous-groupes ouvertes normaux.IV: G est limite projéctive stricte de groupes finis (discrètes).Démonstration. (I) =⇒ (II) : Comme tout sous-groupe ouvert est aussi fermé,on a que {e} esi intersection d’ensembles ouverts et fermés, donc une composanteconnexe, ce qui montre que G est totalement disconnect.(II) =⇒ (I) : Fixons un voisinage compact W de e. Comme la composante connexede e est {e} seulement, e admet un système fondamental de voisinages ouvertes etfermés, contenus dans W , qu’on appellera U. Un tel U ∈ U est donc ouvert, ferméet compact. J’affirme qu’il existe dans ce cas un voisinage V de e, tel que UV ⊆ U :En effet si cela ne serait pas le cas, la famille{UV \U | V ∈ U}sera base du’un filtre d’ensembles compactes non vides. Un point de limite g de cefiltre n’est jamais dans U. Mais d’autre part on a g ∈ U, vu que pour tout voisinageV de e, on a g ∈ UV −1 =⇒ gV ∩ U ≠ ∅, et donc g ∈ U = U. Cela montrel’assertion faite.Si⋃on a UV = U, on a aussi UV n = U, ce qui montre que le sous-groupe H =∞n=0 V n de G généré par V est contenu dans U (car H ⊆ UH = U). Ainsi, toutvoisinage U de e contient un sous-groupe ouvert.