Identification du dual topologique de C[a, b] Louis ... - CQFD - EPFL

3. LE THéORèME DE RIESZ 13
On définit par morceaux une fonction g n de la façon suivante :
– g n (0) = 0
– g n (x) = Φ(C 0 nx 0 (1 − x) n−0 ) , x ∈ (0, 1 n )
– g n (x) = Φ(Cnx 0 0 (1 − x) n−0 ) + Φ(Cnx 1 1 (1 − x) n−1 ), x ∈ [ 1 n , 2 n )
. . .
n−1
∑
– g n (x) = Φ(Cnx k i (1 − x) n−i ), x ∈ [ n−1
n , 1)
– g n (1) =
i=0
n∑
Φ(Cnx k i (1 − x) n−i )
i=0
Par l’équation (1.3), on sait que les fonctions g n et leurs variations totales
sont bornées par un seul nombre. Elles sont donc de variation bornée. Par
le premier théorème de Helly, on sait qu’il existe une sous-suite {g ni } i∈N ⊂
{g n } n∈N qui converge vers une fonction g ∈ BV [0, 1].
Soit f ∈ C[0, 1], on sait par le théorème (2.5) que
∫ 1
n∑ ( i
f(x) dg n (x) = f
n)Φ ( Cnx k k (1 − x) n−k)
et en posant
0
B n (x) :=
n∑
i=0
i=0
( i
f C
n)
nx k k (1 − x) n−k
on obtient ∫ 1
f(x)dg n (x) = Φ ( B n (x) )
Par le théorème de Bernstein,
Par linéarité, on sait que
et par conséquent :
0
‖B n − f‖ −→ 0
|Φ ( B n
)
− Φ
(
f
)
| = |Φ
(
Bn − f ) | ≤ K · ‖B n − f‖
Φ ( B n
)
−→ Φ
(
f
)
quand n → ∞
En reformulant ce résultat, on obtient
∫ 1
lim
n→∞
0
f(x) dg n (x) = Φ ( f )
Cependant, par le deuxième théorème de Helly, on sait que
Par conséquent
∫ 1
lim
n→∞
0
f(x) dg n (x) =
Φ ( f ) =
∫ 1
0
∫ 1
0
f(x) dg(x)
f(x) dg(x)