Cours - Enseeiht

Chapitre 2
Fonctions de plusieurs variables
1 Introduction
Nous nous intéressons dans ce chapitre aux fonctions de R n dans R m et plus particulièrement aux notions de
limites, continuités et de dérivées, notions qui nous serons utiles pour résoudre les problèmes d’optimisation sans
contraintes en dimension finie. La norme sera toujours dans ce chapitre la norme euclidienne.
2 Notion de limite et de continuité dans R n
2.1 Notions topologiques
Définition 2.1.1 (Boule ouverte,boule fermée). On appelle boule ouverte (respectivement boule fermée) de R n
de centre x 0 et de rayon ε l’ensemble :
(respectivement B f (x 0 , ε) = {x ∈ R n /‖x − x 0 ‖ ≤ ε})
B(x 0 , ε) = {x ∈ R n /‖x − x 0 ‖ < ε}
Exemple 2.1.2. (i) n = 1
‖x−x 0 ‖ = |x−x 0 |, par suite la boule ouverte de centre x 0 et de rayon ε > 0 est l’intervalle ouvert ]x 0 −ε, x 0 +ε[
(ii) n = 2 et n = 3
Voir figure (2.1) et (2.2).
Définition 2.1.3 (Ouvert de R n ). U ⊂ R n est un ouvert si et seulement si pour tout x ∈ U il existe une boule
ouverte de centre x 0 et de rayon ε > 0 inclu dans U.
Définition 2.1.4 (Fermé). F ⊂ R n est un fermé si et seulement si ∁F est ouvert.
Exemple 2.1.5. Une boule ouverte (respectivement fermée) est un ouvert (respectivement fermé). En particulier
dans R un intervalle ouvert (respectivement fermé) est un ouvert (respectivement fermé).
Définition 2.1.6 (Limite d’une suite). Soit (x k ) k∈N une suite d’éléments de R n . On dit que la suite converge vers
une limite l quand k tend vers +∞ si et seulement si :
.
∀ε > 0, ∃K, ∀k > K‖x − l‖ < ε
Remarque 2.1.7. • La définition ci-dessus n’est que l’écriture mathématique de ”x k est aussi proche que l’on
veut de l à partir d’un certain rang”.
• Dans le cas n = 1 on a :
∀ε > 0, ∃K, ∀k > K|x − l| < ε
.
Théorème 2.1.8. F ⊂ R n est fermé si et seulement si pour toute suite de point de F qui converge dans R n , la
limite appartient à F .
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