Cours - Enseeiht

4 CHAPITRE 1.
DÉFINITION DU PROBLÈME
Remarque 1.1.5.
• Dans l’exemple précédent on peut aussi écrire : f(β) = 1 2 ‖ r(β) ‖2 où
⎛ ⎞
( )
r 1 (β)
U0
⎜ ⎟
β = r(β) =
α
⎝ . ⎠ et r i (β) = U i − U 0 e −αti
r n (β)
• Minimiser f(β) est équivalent à minimiser αf(β) avec α > 0. Le terme 1 2
est mis ici afin de ne pas avoir le
terme 2 lorsque l’on dérive la fonction f(β)
Exemple 1.1.6 (Modèle de Kaplan). On désire étudier la diffusion d’une drogue dans un organe d’un corps donné.
La drogue est injectée par intraveineuse dans le sang à l’instant t 0 = 0. On modélise le système par un modèle à
compartiments :
k 1
✲
Sang y 1 (t)
✛
k 3
Organe y 2 (t)
k 2
❄
Les concentrations dans le sang sont mesurées à différents instants :
t i y i1 t i y i1
0.25 215.6 3.00 101.2
0.50 189.2 4.00 88.0
0.75 176.0 6.00 61.6
1.00 162.8 12.00 22.0
1.50 138.6 24.00 4.4
2.00 121.0 48.00 0.0
Le système d’équations différentielles décrivant le modèle est le suivant :
⎧
dy 1
⎪⎨ dt = ẏ 1(t) = −(k 1 + k 2 )y 1 (t) + k 3 y 2 (t)
dy 2
(EDO)
dt = ẏ 2(t) = k 1 y 1 (t) − k 3 y 2 (t)
y 1 (0) = c 0
⎪⎩
y 2 (0) = 0
On désire estimer les paramètres c 0 , k 1 , k 2 et k 3 par les moindres carrés. Posons β = t (c 0 , k 1 , k 2 , k 3 ), alors pour
toute valeur de β, on peut intégrer le système d’équations différentielles ordinaires à condition initiale (EDO).
Notons (y 1 (t; β), y 2 (t; β)) cette solution. Par suite on peut calculer les résidus
r i (β) = y i1 − y 1 (t i ; β).
Ces résidus sont visualisés sur la figure (1.5). Nous estimerons alors le paramètre β en résolvant le problème
d’optimisation aux moindres carrés suivant :
{ ∑ Minf(β) =
1 n
(P)
2 i=1 r2 i (β) = 1 2 ||r(β)||2
β ∈ R 4
Exemple 1.1.7. On veut mesurer la liaison entre 2 gènes dominants, l’un contrôlant la couleur d’une fleur, rouge
(R) est dominant sur blanc (b), et l’autre la taille, grand (G) est dominant sur petit (p). Dans la descendance F 2 ,
issu de deux populations homozygotes de phénotype [RG] et [bp], on a étudié n = 3839 plantes. On a obtenu les
résultats suivants :