Cours - Enseeiht

3. APPLICATIONS 25
Démonstration
L’implication est évidente. Démontrons la réciproque. Soit donc ¯x un minimum local. Supposons qu’il existe x ∗ tel
que f(x ∗ ) < f(¯x). Puisque f est convexe nous avons
f(αx ∗ + (1 − α)¯x) ≤ αf(x ∗ ) + (1 − α)f(¯x)
< αf(¯x) + (1 − α)f(¯x)
< f(¯x)
Ceci pour tout α ∈]0, 1]. Soit maintenant ε > 0 et x = αx ∗ + (1 − α)¯x avec
α =
ε/2
‖x ∗ − ¯x‖
alors nous avons ‖x − ¯x‖ = α‖x ∗ − ¯x‖ = ε 2
< ε et f(x) < f(¯x)
Ce qui est en contradiction avec le fait que ¯x est un minimum local ✷
Théorème 2.4.2. Soit (P) un problème d’optimisation convexe où f est dérivable en x ∗ . x ∗ est un minimum
global si et seulement si
∇f(x ∗ ) = 0
Démonstration
L’implication est le théorème (2.2.1) Démontrons la réciproque. Supposons que x ∗ ne soit pas un minimum alors
in existe y tel que f(y) < f(x ∗ ). Posons η = f(x ∗ ) − f(y) > 0, alors puisque f est convexe nous avons
Par suite nous avons
Mais par définition de la dérivée nous avons
et ∇f(x ∗ ) = 0, donc
f(αy + (1 − α)x ∗ ) ≤ αf(y) + (1 − α)f(x ∗ )
≤ α(f(x ∗ ) + f(y) − f(x ∗ )) + (1 − α)f(x ∗ )
≤
f(x ∗ ) − αη
f(x ∗ + α(y − x ∗ )) − f(x ∗ )
α
≤ −η (4.2)
f(x ∗ + α(y − x ∗ )) = f(x ∗ ) + α(∇f(x ∗ )/y − x ∗ ) + ‖α(y − x ∗ )‖ε(α(y − x ∗ ))
f(x ∗ + α(y − x ∗ )) − f(x ∗ )
α
= ‖y − x ∗ ‖ε(α(y − x ∗ ))
Cette quantité tend donc vers 0 quand α tend vers 0. Mais ceci est en contradiction avec (4.2) ✷
Théorème 2.4.3. Si la fonctionnelle f est deux fois dérivable sur R n et que sa dérivée seconde soit toujours semidéfinie
positive, alors x ∗ est un minimum globale si et seulement si l’équation d’Euler, ∇f(x ∗ ) = 0, est vérifiée en
ce point.
Démonstration
Le théorème (2.3.4.3) implique que le problème d’optimisation est convexe. Le théorème précédent permet alors de
conclure. ✷
3 Applications
3.1 Exemples
Exemple 3.1.1. Reprenons l’exemple (1.1.1.1). Nous avons vu que la solution nécessaire de solution conduisait à
la loi de Descartes. Or nous avons vu à l’exemple (2.3.4.5) que la fonctionnelle était convexe. Par suite nous avons
bien démontré cette loi.
Exemple 3.1.2. Considérons le problème aux moindres carrés linéaires. Nous avons f(β) = ‖Xβ − y‖. Montrons
que β est un minimum global si et seulement si il vérifie le système linéaire à p équations et p inconnus, appelés
équations normales, suivant :
t XXβ = t Xy (4.3)