ANALYSE NUMERIQUE Chapitre 3 IntÃƒÂ©gration numÃƒÂ©rique ... - lmpt

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2.4 Noyau de Peano Pour évaluer l’erreur de quadrature E(f) d’une méthode d’ordre n, on commence par en donner une représentation intégrale. Définition .4 x réel de [a, b], on note x ↦→ (x − t) + la fonction qui vaut x − t si ce réel est positif et 0 sinon, et E((x − t) n +) l’erreur de quadrature liée à sa puissance n-ième. Le noyau de Peano de la méthode de quadrature est la fonction K(t) = 1 n! E((x − t)n +) Pour des fonctions assez régulières, grace à un développement de Taylor, on montre que Théorème .3 Si f ∈ C n+1 [a, b] alors E(f) = ∫ b a f (n+1) (t)K(t)dt EXEMPLE : Calcul de l’erreur dans la formule de Simpson sur [−1, 1] (formule de Newton-Côtes fermé à 3 points) ∫ 1 On a I(f) = f(x)dx et par Simpson J 3 (f) = 1 [f(−1) + 4f(0) + f(1)] 3 −1 Ainsi E(f) = I(f) − J 3 (f), et en particulier le noyau de Peano est K(t) = 1 6 E((x − t)3 +) = 1 ∫ 1 6 [ (x − t) 3 +dx − 1 3 ((−1 − t)3 + + (4(−t) 3 + + (1 − t) 3 +)] −1 ∫ 1 −1 K(t)dt intervient dans l’expression de l’erreur pour n’importe quelle fonction de classe C n+1 ...on peut donc faire apparaître ce terme en réalisant le calcul de l’erreur pour la fonction particulière φ : x ↦→ x n+1 Proposition .3 Avec les hypothèses et notations précédentes ∫ b E(φ) = (n + 1)! K(t)dt a C’est une conséquence du précédent Théorème. Pour n = 3, on évalue donc E(φ) = E(x ↦→ x 4 ). ∫ 1 E(φ) = x 4 dx − 1 −1 3 ((−1)4 + 4(0) 4 + (1) 4 ) = −4 15 Ce qui permet d’écrire la formule de Simpson sous la forme ∫ 1 −1 f(x)dx = 1 3 [f(−1) + 4f(0) + f(1)] − 1 90 f (4) (ζ) 2.5 Formules composites (généralisées) Comme pour augmenter la précision de la quadrature approchée on augmente le nombre de points...les calculs se compliquent. Aussi on pratique plutôt des méthodes composites qui reposent sur l’utilisation de formules simples, de degré de précision q (1, 2 ou 3), sur des sous-intervalles réguliers de [a, b] liés à une subdivision régulière de pas h (avec Nh = b − a). 4
On note x i = a + ih pour 0 ≤ i ≤ N METHODE COMPOSITE DES TRAPEZES (q = 1) I = h( 1 i=N−1 2 f(a) + ∑ i=1 f(x i ) + 1 f(b)) + ε(N, f) (2) 2 où ε(N, f) ≤ Nh3 12 max |f”(x)|. x∈[a,b] METHODE COMPOSITE DE SIMPSON (q = 2) et N = 2p I = h i=p−1 3 (f(a) + 4 ∑ i=1 où E(N, f) ≤ Nh5 90 max x∈[a,b] |f (4) (x)|. ∑i=p f(x 2i−1 ) + 2 i=1 f(x 2i ) + f(b)) + E(N, f) (3) 3 Autres méthodes d’intégration numérique 3.1 Formules de Gauss On suppose ici f connue pour tout x ∈ [a, b], on cherche s’il existe un choix optimal de n points (x i ) 1≤i≤n dans [a, b] tels que, pour la fonction ”poids” continue et positive w fixe, ∫ b a i=n ∑ w(x)f(x)dx = α i f(x i ) (4) pour tout polynôme f de degré inférieur ou égal à m -ce nombre étant le plus grand possible. Autrement dit, on recherche un ”bon choix” des x i qui rende la formule (4) exacte sur IP m (Bien sûr, m > n). L’idée est d’utiliser des polynômes orthogonaux P k pour le produit scalaire < f, g >= ∫ b a w(x)f(x)g(x)dx. Théorème .4 Pour tout entier n > 0 fixé, il existe n réels positifs α i et n réels x i tels que i=1 ∀Q ∈ IP 2n−1 ∫ b a i=n ∑ w(x)Q(x)dx = α i Q(x i ) i=1 De plus le choix des x i et celui des α i est le seul possible : les x i sont les racines du n eme polynôme orthogonal P n . La preuve se décompose en 4 parties : existence, positivité des α i , unicité et exactitude du degré de précision 2n − 1. On utilise l’interpolé de Lagrange en les x i de Q. Les x i sont donnés à priori puisque ce sont les racines du polynôme orthogonal P n . Selon l’intervalle et le poids, on utilise les polynômes de Tchebychev, Legendre, Laguerre EXEMPLES de POLYNÔMES ORTHOGONAUX On donne ici, dans quelques cas usuels, le produit scalaire qui définit la norme 5
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