ANALYSE NUMERIQUE Chapitre 3 Intégration numérique ... - lmpt

On cherche ici une ”bonne” v.a. de c 0 . (5) s’écrit sous la forme
T h = c 0 − c 2 h 2 − c 4 h 4 + ... − c 2m h 2m + 0(h 2m+2 )
On met alors en oeuvre le procédé de Richardson avec r = 0.5.
La méthode de Romberg débute par le calcul des approximations intégrales de
f pour les pas h 2 , h 4 , h ,... que l’on dispose dans une colonne. On remarque
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que l’on passe facilement de T l à T l (où Nl = b − a) en rajoutant les images
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des abscisses intermédiaires situées au milieu ds intervalles de subdivision:
T l = 1
2 2 [T l + M l ] où M l = l(f(a + l 3l
) + f(a +
2 2
(2N − 1)l
) + ... + f(a + )).
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Le tableau de la méthode de Romberg s’édifie à partir de sa première colonne
dont les éléments sont notés : T 00 = T h , T 10 = T h ... et de la récurrence
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ce qui donne
T m,n+1 = T m,n + T m,n − T m−1,n
4 n+1 − 1
T 00
T 11
T 10 T 22
T 21 T 33
T 20 T 32
T 31
T 30
D’après ce qui précède on obtient avec T 33 une valeur approchée de I = c 0 à
la précision h 8 au moins.
3.3 Intégration sur un intervalle infini
On retient deux méthodes:
a) Le calcul approché suppose que l’intégrale généralisée est convergente, on
décompose donc
∫ +∞
a
f(x)dx =
∫ +∞
avec A choisi de sorte que |
A
∫ A
a
f(x)dx +
∫ +∞
A
f(x)dx
f(x)dx| < ε ... puis on utilise une des formules
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de quadratures numériques vues ci-dessus dans l’intervalle borné [a, A] pour
une précision ε 2 .
b) Dans les situations où on connait une famille de polynômes orthogonaux
(ceux de Laguerre, par exemple pour le poids w(x) = e −x sur [0, +∞[), on
utilise les formules de Gauss.
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