énoncé - Inria

TD MA201
Cours Eléments Finis
2.1 - Montrer qu’il existe un et un seul triplet (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) ∈ P 3 1 tel que :
∀x ∈ IR 2 , λ 1 (x) S 1 + λ 2 (x) S 2 + λ 3 (x) S 3 = x,
∀x ∈ IR 2 , λ 1 (x) + λ 2 (x) + λ 3 (x) = 1,
qui sont par définition les coordonnées barycentriques associées à K. Caractériser le triangle
K à l’aide des fonctions (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) et démontrer que (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) forme une base de P 1 .
2.2 - Soit un domaine Ω et (T l ) l=1..L une triangulation du domaine Ω.
On note (M I ) I=1,N l’ensemble de tous les sommets des triangles T l et on introduit l’espace
suivant :
Vh 1 = {v h ∈ C 0 (¯Ω) telle que v h | Tl ∈ P 1 }.
Expliquer pourquoi V 1
h ⊂ H1 (Ω).
2.3 - Montrer qu’il existe une unique fonction W I ∈ V 1
h
telle que :
W I (M J ) = δ IJ ∀J = 1, .., N.
On représentera graphiquement cette fonction, et on la reliera aux coordonnées barycentriques.
2.4 - Montrer que les W I , 1 ≤ I ≤ N forment une base de V 1
h .
2.5 - On introduit maintenant l’espace :
Expliquer pourquoi V 2
h ⊂ H1 (Ω).
V 2
h = {v h ∈ C 0 (¯Ω) telle que v h | Tl ∈ P 2 }.
2.6 - On note M JK le milieu du segment [M J , M K ] (noté [J, K]). Montrer qu’il existe une
unique fonction W I ∈ Vh 2 et une unique fonction W JK 1 ∈ V h 2 telle que :
W I (M J ) = δ IJ , ∀J = 1, .., N et W I (M KL ) = 0, ∀ [K, L] arète,
WJK 1 (M J) = 0, ∀J = 1, .., N et WJK 1 (M IL) = δ [J,K],[I,L] , ∀ [I, L] arète.
Donner l’expression de ces fonctions en coordonnées barycentriques.
2.7 - Montrer que la famille {(W I ) 1≤I≤N , (WJK 1 ) 2
∀[J,K] arète } forme une base de Vh .
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