Séance n 4 Eléments finis en dimension 1 et 2 Corrigé - Inria

TD MA201Calcul ScientifiqueEn utilisant les conditions aux limites en a et b, on obtient la formulation variationnelleassociée au problème (1) :⎧⎨1Trouver u ∈ H (Ī) tel que :(2)⎩a(u, v) = l(v), ∀ v ∈ H 1 (Ī),avec∫a(u, v) = p du dvI dx dx∫Idx + q u v dx + β u(b) v(b) + β u(a) v(a),∫l(v) = fv dx.IL’existence et l’unicité se démontrent en utilisant le théorème de Lax-Milgram. On vérifiela continuité de l(.) et a(., .) :∫|l(v)| = | fv dx| ≤ ‖f‖ L 2‖v‖ L 2,I≤ ‖f‖ L 2‖v‖ H 1.∫|a(u, v)| ≤ p ∗ | duI dx | |dv dx∫I| dx + q∗ |u| |v| dx + β|u(b)| |v(b)| + β|u(a)| |v(a)|En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwartz :∫p ∗ | dudx | |dv dx∫I| + q∗ |u| |v| dx ≤ p ∗ ‖ dudx ‖ L 2‖dv dx ‖ L 2 + q∗ ‖u‖ L 2‖v‖ L 2,I1et la continuité de l’application trace de H (Ī) dans IR :on obtient :β|u(b)| |v(b)| + β|u(a)| |v(a)| ≤ 2β C 2 I ‖u‖ H 1‖v‖ H 1,|a(u, v)| ≤ C‖u‖ H 1‖v‖ H 1, C = √ 2 max(p ∗ , q ∗ ) + 2β C 2 I .La coercivité de a est immédiate :∫a(u, u) ≥ p | du ∫dx |2 dx +IIq u 2 dx ≥ min(p ∗ , q ∗ )‖u‖ 2 H 1.Le théorème de Lax-Milgram peut donc s’appliquer, on a existence et unicité de la solution.1.2 - En choisissant v ∈ D(I) dans la formulation (2), les termes de bord sont nuls, onobtient alors− ddx (pdu dx ) + qu = f au sens des distributions1En choisissant une fonction test dans H (Ī), qui vaut 1 en b et 0 en a, on obtient :p(b) du (b) + β u(b) = 0.dxDe la même manière, on retrouve la condition au limite en a.2

TD MA201Calcul ScientifiqueOn choisit la fonction test v = Π h u − u h . On a alorsa(Π h u − u, Π h u − u h ) = a(Π h u − u h , Π h u − u h ).On va utiliser la continuité et la coercivité de a démontré à la question 1.1.d’oùα‖Π h u − u h ‖ 2 H 1 ≤ |a(Π hu − u, Π h u − u h )| ≤ C‖Π h u − u‖ H 1‖Π h u − u h ‖ H 1A l’aide de l’inégalité triangulaire‖Π h u − u h ‖ H 1 ≤ C‖Π h u − u‖ H 1.‖u − u h ‖ H 1 ≤ ‖u − Π h u‖ H 1 + ‖Π h u − u h ‖ H 1 ≤ (C + 1)‖Π h u − u‖ H 1.Or ‖Π h − u‖ H 1 ≤ C 1 h‖u‖ H 2 ≤ C 2 h‖f‖ L 2. On obtient l estimation d’erreur désirée :‖u − u h ‖ H 1 ≤ Ch.La constante C fait intervenir la constante de coercivité α, la constante de la continuité dea, la constante d’erreur d’interpolation et ‖f‖ L 2. Elle ne dépend pas de h.Exercice 2. Eléments finis P 1 en dimension 22.1 - On suppose l’existence du triplet (λ 1 , λ 2 , λ 3 ), on va montrer l’unicité. Nous allonsprouver d’abord que :λ 1 (S 1 ) = 1, λ 2 (S 1 ) = 0, λ 3 (S 1 ) = 0.Supposons par l’absurde que λ 1 (S 1 ) ≠ 1, nous avons alors :S 1 = λ 2(S 1 )S 2 − λ 3 (S 1 )S 31 − λ 1 (S 1 )(λ 2 (S 1 ), λ 3 (S 1 ) ≠ (0, 0))S 1 , S 2 et S 3 sont donc alignés, ce qui est exclu. Donc λ 1 (S 1 ) = 1.Supposons maintenant que λ 2 (S 1 ) ≠ 0, on a alors :λ 2 (S 1 )(S 2 − S 3 ) = 0Les point S 2 et S 3 sont confondus, ce qui est exclu. On a donc λ 2 (S 1 ) = λ 3 (S 1 ) = 0. Ondémontre de la même manière que :On cherche λ 1 de la formeλ 1 (S 2 ) = 0, λ 2 (S 2 ) = 1, λ 3 (S 2 ) = 0,λ 1 (S 3 ) = 0, λ 2 (S 3 ) = 0, λ 3 (S 3 ) = 1.λ 1 (x, y) = α(x − x 2 ) + β(y − y 2 ) + γ5

TD MA201Calcul Scientifiqueλ 1 (S 2 ) = 0 donne γ = 0 et λ 1 (S 3 ) = 0 donne α(x 3 − x 2 ) + β(y 3 − y 2 ) = 0. Donc λ 1 est dela forme :λ 1 (x, y) = C [(y 2 − y 3 )(x − x 2 ) + (x 3 − x 2 )(y − y 2 )]La constante C est déterminée de manière unique par l’équation λ 1 (S 1 ) = 1 :λ 1 (x, y) = (y 2 − y 3 )(x − x 2 ) + (x 3 − x 2 )(y − y 2 )(y 2 − y 3 )(x 1 − x 2 ) + (x 3 − x 2 )(y 1 − y 2 )Le dénominateur est proportionnel à l’aire du triangle, qui est non nulle car les points nesont pas alignés. De la même manière, on trouve une expression unique pour λ 2 et λ 3 . Onvérifie que le triplet vérifie bien les propriétés demandées, ce qui prouve l’existence.(λ 1 , λ 2 , λ 3 ) ∈ (P 1 ) 3 , c’est aussi une famille libre. Comme dim P 1 = 3, (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) est unebase de P 1 .2.2 - soit v h ∈ V h montrons que v h ∈ H 1 (Ω). Par définition de V h on a v h | Tl ∈ P 1 ∀ l =1, L, ceci implique que v h | Tl ∈ H 1 (T l ). v h est supposé continue sur ¯Ω. Par conséquent v hest dans H 1 (Ω) (cf TD2).2.3 - Par définition, sur chaque triangle T l la fonction W I est une fonction P 1 prenenanttrois valeurs données aux sommets du triangle T l . Or une fonction P 1 est entiérementdéterminée par les valeurs qu’elle prend en trois points alignés. Comme par hypothèse surle maillage les triangles T l sont d’intérieur non vide on en déduit que W I est définie d’unemanière unique. on notera également que W I est continue sur ¯Ω car la restriction de W Isur une arête définit une fonction affine le long de l’arête prenenat deux valeurs donnéeset toute fonction affine d’une variable est entièrement déterminée par les valeurs qu’elleprend en deux points distincts.1M IFig. 1 – Fonction de base W I6

TD MA201Calcul Scientifique2.4 - La famille (W I ) 1≤I≤N est libre car∑λ I W I = 0 ⇒ ∑ λ I W I (M J ) = 0 ⇒ λ J = 0 ∀J = 1, N.II(W I ) 1≤I≤N est génératrice car :∀ v h ∈ V h , v h (M) = ∑ Iv h (M I ) W I (M)En effet, en posant u h = v h − ∑ I v h(M I ) W I , on a :d’où u h = 0.u h (M J ) = 0 ∀ 1 ≤ J ≤ N.Exercice 3. Eléments finis P 2 en dimension 13.1 - On note x 1 i = 1/2(x i+1 + x i ). On pose w j⎧(x − x 1 j−1 )(x j−1 − x)(x ⎪⎨ j − x 1 j−1 )(x si x ∈ [x j−1 , x j ],j−1 − x j )w j (x) = (x − x 1 j )(x j+1 − x)(x j − x 1 j⎪⎩)(x si x ∈ [x j , x j+1 ],j+1 − x j )0 sinonet w 1 jw 1 j (x) = ⎧⎪⎨⎪ ⎩(x − x j )(x j+1 − x)(x 1 j − x j)(x j+1 − x 1 j ) si x ∈ [x j , x j+1 ],0 sinonOn vérifie que w j , w 1 j ıP 2 et satisfont w j (x i ) = δ ij , w j (x 1 i ) = 0, w 1 j (x 1 i ) = δ ij et w 1 j(x i ) = 0.3.2 - w 1 j ∈ C1 (]a, b[), supp(w 1 j ) = [x j, x j + 1] et w j ∈ C 0 (]a, b[), supp(w 1 j ) = [x j−1, x j + 1].7

TD MA201Calcul Scientifiquew jw 1 jx j−1x 1 j−1x jx j+1x 1 jFig. 2 – Les fonction de base w j et w 1 j8