Séance n 4 Eléments finis en dimension 1 et 2 Corrigé - Inria

TD MA201Calcul ScientifiqueEn utilisant les conditions aux limites en a et b, on obtient la formulation variationnelleassociée au problème (1) :⎧⎨1Trouver u ∈ H (Ī) tel que :(2)⎩a(u, v) = l(v), ∀ v ∈ H 1 (Ī),avec∫a(u, v) = p du dvI dx dx∫Idx + q u v dx + β u(b) v(b) + β u(a) v(a),∫l(v) = fv dx.IL’existence et l’unicité se démontrent en utilisant le théorème de Lax-Milgram. On vérifiela continuité de l(.) et a(., .) :∫|l(v)| = | fv dx| ≤ ‖f‖ L 2‖v‖ L 2,I≤ ‖f‖ L 2‖v‖ H 1.∫|a(u, v)| ≤ p ∗ | duI dx | |dv dx∫I| dx + q∗ |u| |v| dx + β|u(b)| |v(b)| + β|u(a)| |v(a)|En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwartz :∫p ∗ | dudx | |dv dx∫I| + q∗ |u| |v| dx ≤ p ∗ ‖ dudx ‖ L 2‖dv dx ‖ L 2 + q∗ ‖u‖ L 2‖v‖ L 2,I1et la continuité de l’application trace de H (Ī) dans IR :on obtient :β|u(b)| |v(b)| + β|u(a)| |v(a)| ≤ 2β C 2 I ‖u‖ H 1‖v‖ H 1,|a(u, v)| ≤ C‖u‖ H 1‖v‖ H 1, C = √ 2 max(p ∗ , q ∗ ) + 2β C 2 I .La coercivité de a est immédiate :∫a(u, u) ≥ p | du ∫dx |2 dx +IIq u 2 dx ≥ min(p ∗ , q ∗ )‖u‖ 2 H 1.Le théorème de Lax-Milgram peut donc s’appliquer, on a existence et unicité de la solution.1.2 - En choisissant v ∈ D(I) dans la formulation (2), les termes de bord sont nuls, onobtient alors− ddx (pdu dx ) + qu = f au sens des distributions1En choisissant une fonction test dans H (Ī), qui vaut 1 en b et 0 en a, on obtient :p(b) du (b) + β u(b) = 0.dxDe la même manière, on retrouve la condition au limite en a.2