Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la ... - Inria

La mise en équationLoi de conservation : ∂θ + div ⃗q = 0.∂tLoi de conduction : ⃗q = −σ∇θ.Si on élimine ⃗q le problème à résoudre s’écrit:⎧Trouver θ(x, t) : Ω×]0, T [−→ R tel que:∂θ⎪⎨ ∂t − div( σ∇θ) = 0, x ∈ Ω, t > 0,σ ∂θ∂n = q l, (−⃗q · n = q l ) x ∈ Γ 1 , t > 0,θ = θ l , x ∈ Γ 0 , t > 0,⎪⎩θ(x, 0) = θ 0 (x), x ∈ Ω.Nature du problème⎧Trouver θ(x, t) : Ω×]0, T [−→ R tel que:∂θ⎪⎨ ∂t − div( σ∇θ) = 0, x ∈ Ω, t > 0,σ ∂θ∂n = q l, x ∈ Γ 1 , t > 0,θ = θ l , x ∈ Γ 0 , t > 0,⎪⎩θ(x, 0) = θ 0 (x), x ∈ Ω.Le temps faisant partie explicitement des variables duproblème, on a affaire à un problème d’évolution.Tant mathématiquement que numériquement,les variables x et t jouent un rôle différent.Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.5/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.6/27Nature du problème⎧Trouver θ(x, t) : Ω×]0, T [−→ R tel que:∂θ⎪⎨ ∂t − div( σ∇θ) = 0, x ∈ Ω, t > 0,σ ∂θ∂n = q l, x ∈ Γ 1 , t > 0,θ = θ l , x ∈ Γ 0 , t > 0,⎪⎩θ(x, 0) = θ 0 (x), x ∈ Ω.L’équation de la chaleur est le prototype des équationsparaboliques qui modélisent les phénomènes de diffusion.Elles interviennent aussi en mécanique des fluides (milieuxporeux, diffusion de polluants), ou en finance (Black-Scholes).Ces équations seront abordées au cours 8.Les difficultés de l’analyse mathématique.Vu de très loin, le problème peut être mis sous la forme:Trouver u ∈ V tel que A u = doù V est un espace vectoriel (espace de fonctions), A est unopérateur linéaire, le vecteur u est la fonction inconnue θ et dreprésente les données (θ 0 , θ l , q l ).Cela ressemble à un système linéaire.Les différences majeures, sources de difficultés, sont:L’espace fonctionnel V est de dimension infinie.L’opérateur A est un opérateur différentiel (non continudans des topologies classiques).De ce fait, les questions d’existence et d’unicité de la solutionsont très délicates.Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.6/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.7/27

Notion de problème bien posé.Notion de problème bien posé.Soit (S, ‖ · ‖ S ) et (D, ‖ · ‖ D ) deux espaces vectoriels normés etF une application (non nécessairement linéaire) de S dans Douvert de D. On dira que le problème:(P ) Trouver u ∈ S tel que F (u) = dest bien posé au sens de Hadamard si:Pour tout d dans D, (P ) admet une solution et une seule.Cette solution dépend continument de la donnée d:d n → d dans D =⇒ u n → u dans SAttention, la notion de problème bien posé n’est pasintrinsèque. Elle est liée au choix des espaces S et Det surtout au choix des normes ‖ · ‖ S et ‖ · ‖ D .On dit aussi que le problème est stable en norme ‖ · ‖ Spar rapport à la norme ‖ · ‖ D .La notion de stabilité du problème continu est un pré-requisquasiment indispensable en vue de l’approximation numérique.Dans le cas F linéaire , D = D et la condition de continuité setraduit par l’existence d’une constante C telle que:‖u‖ S ≤ C ‖d‖ D .Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.8/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.9/27Stabilité L 2 du problème de Cauchy.L’estimation a priori.On admet ici le résultat d’existence et unicité pour notreproblème modèle et on va s’intéresser à un résultat de stabilité.On va se restreindre à θ l = q l = 0 auquel cas la seule donnéeest θ 0 (problème de Cauchy).On va établir le résultat de stabilité:∀ t > 0,‖θ(t)‖ L 2 (Ω) ≤ ‖θ 0 ‖ L 2 (Ω).Le résultat va apparaître comme une estimation a priori, c’est àdire une estimation qu’on est capable d’obtenir sans connaîtreexplicitement la solution.Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.10/27On multiplie l’équation par θ et on intègre sur Ω:∫∂θΩ ∂t∫Ωθ dx − div ( σ∇θ) θ dx = 0On remarque que:∫Ω∂θ∂t θ dx = ∫Ω∂∂t( θ2 )dx = 1 ∫d2 2 dtΩθ 2 dx.On utilise la formule de Green (intégration par parties):∫− div ( ∫∫σ∇θ) θ dx = σ|∇θ| 2 ∂θdx − σ∂n θ dγΩ(θ s’annule sur Γ 0 , ∂θ∂n sur Γ 1.)ΩΓIntroduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.11/27

L’estimation a priori.L’estimation a priori.On multiplie l’équation par θ et on intègre sur Ω:∫∂θ∂t∫Ωθ dx − div ( σ∇θ) θ dx = 0ΩOn remarque que:∫Ω∂θ∂t θ dx = ∫Ω∂∂t( θ2 )dx = 1 ∫d2 2 dtΩθ 2 dx.On obtient par conséquent l’identité:∫ ∫1 dθ 2 dx + σ|∇θ| 2 dx = 0.2 dtCompte tenu de la positivité de σ il vient:∫1 dθ 2 dx ≤ 0,2 dtΩΩΩOn utilise la formule de Green (intégration par parties):∫− div ( ∫σ∇θ) θ dx = σ|∇θ| 2 dxΩ(θ s’annule sur Γ 0 , ∂θ∂n sur Γ 1.)ΩIntroduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.11/27dont on déduit:∀ t > 0,∫∫θ(x, t) 2 dx ≤ θ 0 (x) 2 dxΩΩIntroduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.12/27Approximation numérique.Méthode des différences finies: le principe.On va se placer en dimension 1:Ω =]0, L[, Γ 0 = {0}, Γ 1 = {L}.Le problème à résoudre s’écrit:⎧Trouver u(x, t) :]0, L[×]0, T [−→ IR tel que:∂u⎪⎨ ∂t − ∂ ( ∂u σ ) = 0, x ∈ ]0, L[, t > 0,∂x ∂xσ ∂u∂x (L, t) = q l(t), t > 0,u(0, t) = θ l (t), t > 0,⎪⎩u(x, 0) = u 0 (x),x ∈ ]0, L[.L’idée est de calculer (une approximation de) la solution auxpoints d’une grille de calcul suffisamment fine.Pour cela, on se donne un pas de discrétisation en espace∆x = L/(J + 1) > 0 et un pas de discrétisation en temps∆t > 0 et on va chercher à calculer:u n j ∼ u(x j , t n ), x j = j∆x, t n = n∆t.L’espoir est que, lorsque ∆x et ∆t tendront vers 0, l’erreurcommisee n j = u n j − u(x j , t n ).tendra (en un sens à préciser) vers 0.Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.13/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.14/27

Méthode des différences finies.Méthode des différences finies: le principe.Points de calcul: x j = j ∆x, 0 ≤ j ≤ J + 1, t n = n∆t, n ≥ 0.Pour produire les équations définissant les inconnuesdiscrètes, l’idée est d’écrire (de façon approchée) l’EDP àrésoudre en chaque point intérieur de la grille de calcul.¡u n jt n∆tPour cela il faut définir des approximations d’opérateursdifférentiels ne faisant appel qu’aux valeurs discrètes:ce sont les opérateurs aux différences.Les équations manquantes sont fournies par la prise encompte des conditions initiales et des conditions aux limites.Après discrétisation, on est ramené à la résolution d’unproblème posé en dimension finie, traitable sur ordinateur.0 L∆xx jIntroduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.15/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.16/27Construction d’opérateurs aux différences.Construction d’opérateurs aux différences.L’idée de base est de revenir à la définition d’une dérivéef ′ f(x + h) − f(x) f(x + h) − f(x − h)(x) = lim, = lim, ...h→0 hh→0 2hApproximation de ∂u∂t (x j, t n ).∂u∂t (x j, t n ) ∼ un+1 j − u n j∆tC’est une approximation décentrée à droite,l’erreur de troncatured’ordre 1 carε n j = u(x j, t n+1 ) − u(x j , t n )− ∂u∆t∂t (x j, t n )(Taylor) = ∆t ∂ 2 u2 ∂t (x j, t n ) + O(∆t 2 )2Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.17/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.17/27

Construction d’opérateurs aux différences.Approximation de ∂ ( ∂u) σ (xj , t n ).∂x ∂xConstruction d’opérateurs aux différences.Supposons connu v n j+ 1 2= v(x j+1 , t n ), v = σ ∂u2∂x .On réalise alors une approximation centrée, d’ordre 2 avec:∂ ( ∂u) σ (xj , t n ) = ∂v v n − v n∂x ∂x ∂x (x j, t n j+) ∼1 j− 1 22∆xOn fait alors l’approximation (centrée):v n j+ 1 2u n j+1 − u n j∼ σ j+12 ∆xpour aboutir à:∂∂x( ∂u) σ (xj , t n ) ∼ 1 (∂x ∆xσ j+12( un j+1 − u n j∆x) − σ j−1 ( un j − u n )j−1)2 ∆xIntroduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.18/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.18/27Construction d’opérateurs aux différences.Le schéma numériqueLorsque σ est constant on a fait l’approximation:Pour n ≥ 0 et 1 ≤ j ≤ J − 1:σ ∂2 u∂x (x j, t n ) ∼ σ un j+1 − 2u n j + u n j−12 ∆x 2qui est une approximation d’ordre 2 ainsi que le montrel’estimation de l’erreur de troncature:ε n j = σ u(x j+1, t n ) − 2u(x j , t n ) + u(x j−1 , t n )∆x 2∣ = σ ∆x2 ∂ 4 u12 ∂x (x j, t n ) + O(∆x 4 )4− σ ∂2 u∂x 2 (x j, t n )u n+1j− u n j∆t⎧⎪⎨⎪⎩− 1 (∆xσ j+12( un j+1 − u n j∆xPour 1 ≤ j ≤ J − 1: u 0 j = u 0,j .Pour n ≥ 0: u n 0 = u n l .Pour n ≥ 0:) − σ j−1 ( un j − u n )j−1) = 0.2 ∆xu n J − un J−1∆x= q n l .Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.19/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.20/27

¢¢¢¢¢¥¥¥¥¥Le schéma numériqueMise en oeuvre du schéma numérique.Pour n ≥ 0 et 1 ≤ j ≤ J − 1:On construit la grille de calcul.u n+1j= u n j + ∆t∆x 2 (σ j+12)(u n j+1 − u n j ) − σ j−1 (u n j − u n j−1) = 0.2⎧⎪⎨⎪⎩Pour 1 ≤ j ≤ J − 1: u 0 j = u 0,j .Pour n ≥ 0: u n 0 = u n l .Pour n ≥ 0: u n J = un J−1 + ∆x qn l .∆tIl s’agit d’un schéma explicite.∆xIntroduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.20/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.21/27Mise en oeuvre du schéma numérique.Mise en oeuvre du schéma numérique.On prend en compte les condition initiale et de Dirichlet.Supposons la solution calculée jusqu’à l’instant t n .§ § § § § § § § § §£ £ £ £ £ £ £ £ £ ££ £ £ £ £ £ £ £ £ £§ § § § § § § § § §£ £ £ £ £ £ £ £ £ ££ £ £ £ £ £ £ £ £ £∆t§ § § § § § § § § §¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦t n+1t n¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦£ £ £ £ £ £ £ £ £ £¥¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤¢¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡∆xIntroduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.21/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.21/27

L’analyse numérique.C’est une branche des mathématiques qui s’est développéeavec l’avènement des ordinateurs.L’analyse numérique des équations aux dérivées partielles estl’art de maîtriser le passage du continu au discret.Montrer que le problème approché est bien posé:existence et unicité de u h .Montrer la convergence : u h → u quand h → 0.La stabilité : borne uniforme du type ‖u h ‖ ≤ C.La consistance : approximation des équations.Un exemple de schéma instable.Revenons à notre problème modèle. Pour améliorer laprécision de notre méthode on peut penser à utiliser uneapproximation centrée de la dérivée en temps.u n+1j− u n−1j2∆t− 1 (∆xσ j+12( un j+1 − u n j∆x) − σ j−1 ( un j − u n )j−1) = 0.2 ∆xUn tel schéma se révèle inconditionnellement instable.Obtenir des estimations d’erreur: ‖u − u h ‖ ≤ ? .En principe : stabilité + consistance =⇒ convergence.Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.22/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.23/27Autres exemples.Problèmes stationnaires elliptiques.Nous faisons l’hypothèse que quand t → +∞:⎧⎨ θ l (x, t) → θ ∞ l (x) x ∈ Γ 0⎩q l (x, t) → q ∞ l (x) x ∈ Γ 1On peut démontrer la convergence vers un état stationnaireθ(x, t) → θ ∞ (x),t → +∞,où θ ∞ : Ω → R est solution du problème aux limites:Autres exemples.Problèmes stationnaires elliptiques.On peut démontrer la convergence vers un état stationnaireθ(x, t) → θ ∞ (x),t → +∞,où θ ∞ : Ω → R est solution du problème aux limites:⎧−div ( σ∇θ ∞) = 0, dans Ω,⎪⎨θ ∞ = θ l , sur Γ 0 ,⎪⎩ σ ∂θ∞∂n = q l, sur Γ 0 .Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.24/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.24/27

Autres exemples.Problèmes stationnaires elliptiques.Autres exemples.Problèmes hyperboliques linéaires. (Cours 9 et 10)⎧⎪⎨⎪⎩−div ( σ∇θ ∞) = 0, dans Ω,θ ∞ = θ l , sur Γ 0 ,σ ∂θ∞∂n = q l, sur Γ 0 .La propagation du son dans un fluide est régie par l’équationdes ondes acoustiques:1ρ 0 c 2 0∂ 2 p∂t 2 − div( 1ρ 0∇p ) = f,où l’inconnue p désigne la (variation de) pression, ρ 0 désigne ladensité du fluide, c 0 la célérité du son et f un terme source.Ce problème est le prototype des problèmes elliptiques qu’onrecontre aussi en mécanique des solides et des fluides(phénomènes d’equilibre), en électrostatique,...Seront étudiés dans les cours 2,3,4,5.Au même titre que l´équation de transport, l’équation desondes est le prototype de l’équation hyperbolique linéairequi décrit des phénomènes de propagation.On rencontre aussi ce type d’équation en électromagnétisme(Maxwell) ou en mécanique du solide (élastodynamique).Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.24/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.25/27Problèmes de type Fredholm.Autres exemples.Si le terme source est harmonique en temps:f(x, t) = f ∞ (x) exp iωtoù la pulsation ω > 0 est donnée, on aura le comportement entemps long:p(x, t) ∼ p ∞ (x) exp iωt,t → +∞.où p ∞ est solution de l’équation de Helmholtz:−div ( 1 ) ω 2∇p ∞ − pρ 0 ρ 0 c 2 ∞ = f ∞ (x).0C’est le prototype du problème elliptique non coercif mais detype Fredholm, traité dans les cours 6 et 7.Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.26/27Autres exemples.Problèmes hyperboliques non linéaires.Ces modèles interviennent pour la description desphénomènes de propagation non linéaire, surtout enmécanique des fluides (propagation des chocs, ondesde détente,...) mais aussi pour la modélisation du trafficroutier (modélisation des bouchons).En dimension 1, l’équation modèle est (f : R → R):f(u) = auf(u) = u 2 /2∂u∂t + ∂ f(u) = 0, x ∈ R, t > 0.∂x: équation de transport.: équation de Burgers.Cette équation sera traitée aux cours 11 et 12.Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.27/27