Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la ... - Inria

L’analyse numérique.C’est une branche des mathématiques qui s’est développéeavec l’avènement des ordinateurs.L’analyse numérique des équations aux dérivées partielles estl’art de maîtriser le passage du continu au discret.Montrer que le problème approché est bien posé:existence et unicité de u h .Montrer la convergence : u h → u quand h → 0.La stabilité : borne uniforme du type ‖u h ‖ ≤ C.La consistance : approximation des équations.Un exemple de schéma instable.Revenons à notre problème modèle. Pour améliorer laprécision de notre méthode on peut penser à utiliser uneapproximation centrée de la dérivée en temps.u n+1j− u n−1j2∆t− 1 (∆xσ j+12( un j+1 − u n j∆x) − σ j−1 ( un j − u n )j−1) = 0.2 ∆xUn tel schéma se révèle inconditionnellement instable.Obtenir des estimations d’erreur: ‖u − u h ‖ ≤ ? .En principe : stabilité + consistance =⇒ convergence.Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.22/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.23/27Autres exemples.Problèmes stationnaires elliptiques.Nous faisons l’hypothèse que quand t → +∞:⎧⎨ θ l (x, t) → θ ∞ l (x) x ∈ Γ 0⎩q l (x, t) → q ∞ l (x) x ∈ Γ 1On peut démontrer la convergence vers un état stationnaireθ(x, t) → θ ∞ (x),t → +∞,où θ ∞ : Ω → R est solution du problème aux limites:Autres exemples.Problèmes stationnaires elliptiques.On peut démontrer la convergence vers un état stationnaireθ(x, t) → θ ∞ (x),t → +∞,où θ ∞ : Ω → R est solution du problème aux limites:⎧−div ( σ∇θ ∞) = 0, dans Ω,⎪⎨θ ∞ = θ l , sur Γ 0 ,⎪⎩ σ ∂θ∞∂n = q l, sur Γ 0 .Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.24/27Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. – p.24/27