énoncé - Inria

TD MA201
Cours Eléments Finis
Séance n o 3
Elements finis en dimension 1 et 2
Enoncé
2 Octobre 2006
Exercice 1. Eléments finis P 2 en dimension 1
On s’intéresse à l’approximation de [a, b] par éléments finis P 2 . Pour cela, on introduit
le maillage de pas h = b − a défini par les points :
N
x j = a + j h j = 0, 1, ..., N.
On désigne par P 2 l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 2. On introduit
l’espace de dimension finie défini par :
V h = {v h ∈ C 0 ([a, b]) tel que v h | [xj ,x j+1 ] ∈ P 2 , j = 0, 1, ..., N − 1}.
1.1 - Exhiber une base adéquate {w j (x), 0 ≤ j ≤ N}∪{wj 1 (x), 0 ≤ j ≤ N −1} de l’espace
V h telle que :
w j (x i ) = δ i,j w j ( x i + x i+1
) = 0,
2
wj 1 (x i ) = 0 wj 1 ( x i + x i+1
) = δ i,j .
2
1.2 - Représenter sur l’intervalle [x j−1 , x j+1 ] les deux fonctions de base w j et w 1 j . Quelle
est la différence entre ces deux types de fonctions de base
Exercice 2. Eléments finis P 1 et P 2 en dimension 2
Soit K un triangle de IR 2 de sommets (S 1 , S 2 , S 3 ) ∈ (IR 2 ) 3 , non-alignés.
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2.1 - Montrer qu’il existe un et un seul triplet (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) ∈ P 3 1 tel que :
∀x ∈ IR 2 , λ 1 (x) S 1 + λ 2 (x) S 2 + λ 3 (x) S 3 = x,
∀x ∈ IR 2 , λ 1 (x) + λ 2 (x) + λ 3 (x) = 1,
qui sont par définition les coordonnées barycentriques associées à K. Caractériser le triangle
K à l’aide des fonctions (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) et démontrer que (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) forme une base de P 1 .
2.2 - Soit un domaine Ω et (T l ) l=1..L une triangulation du domaine Ω.
On note (M I ) I=1,N l’ensemble de tous les sommets des triangles T l et on introduit l’espace
suivant :
Vh 1 = {v h ∈ C 0 (¯Ω) telle que v h | Tl ∈ P 1 }.
Expliquer pourquoi V 1
h ⊂ H1 (Ω).
2.3 - Montrer qu’il existe une unique fonction W I ∈ V 1
h
telle que :
W I (M J ) = δ IJ ∀J = 1, .., N.
On représentera graphiquement cette fonction, et on la reliera aux coordonnées barycentriques.
2.4 - Montrer que les W I , 1 ≤ I ≤ N forment une base de V 1
h .
2.5 - On introduit maintenant l’espace :
Expliquer pourquoi V 2
h ⊂ H1 (Ω).
V 2
h = {v h ∈ C 0 (¯Ω) telle que v h | Tl ∈ P 2 }.
2.6 - On note M JK le milieu du segment [M J , M K ] (noté [J, K]). Montrer qu’il existe une
unique fonction W I ∈ Vh 2 et une unique fonction W JK 1 ∈ V h 2 telle que :
W I (M J ) = δ IJ , ∀J = 1, .., N et W I (M KL ) = 0, ∀ [K, L] arète,
WJK 1 (M J) = 0, ∀J = 1, .., N et WJK 1 (M IL) = δ [J,K],[I,L] , ∀ [I, L] arète.
Donner l’expression de ces fonctions en coordonnées barycentriques.
2.7 - Montrer que la famille {(W I ) 1≤I≤N , (WJK 1 ) 2
∀[J,K] arète } forme une base de Vh .
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Exercice 3.
Eléments finis quadrangulaires
Cours Eléments Finis
Soit K = [0, 1] 2 le carré unité en dimension 2 et
{
Q k (K) = p(x, y) = ∑
α ij x i y j ,
i,j≤k
α ij ∈ R
}
l’espace des polynome de degré inférieur ou égal à k par rapport à chacune des variables.
3.1 - Trouver les fonctions de bases des éléments finis Q 1 et Q 2 sur le carré.
3.2 - On souhaite discrétiser un domaine avec une partie en éléments finis Q 1 et une
autre en élélmets finis Q 2 . On note ˜Q 2 l’élément fini associé à une maille K, permettant de
réaliser la transition entre la zone maillée en quadrangles Q 2 et celle maillée en quadrangles
Q 1 .
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S
4
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S5
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S
3
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S
1
S
2
On cherche les fonctions de bases de cet élément ˜Q 2 ; elles seront notées ˆµ I , I = 1, 5 et
vérifient ˆµ I = δ IJ , I, J = 1, 5.
3.2.1 Donner des conditions supplémentaires portant sur les ˆµ I qui assurent que l’élément
soit de classe C 0 .
3.2.2 Déterminer les ˆµ I convenables qui soient du plus bas degré possible.
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Exercice 4.
Cours Eléments Finis
Méthodes des éléments finis en dimension
1
Soit f ∈ L 2 (]0, 1[) et b(x) : ]0, 1[→ R vérifiant :
O < b min ≤ b(x) ≤ b max ≤ 0, pour x ∈]0, 1[.
On s’intéresse au problème suivant :
⎧
⎪⎨ − d
dx (b(x)du (x))
dx
= f(x) x ∈]0, 1[
⎪⎩
u(0) = u(1) = 0.
4.1 - Ecrire la formulation variationnelle de ce problème et démontrer l’existence et l’unicité
de la solution u ∈ H 1 0(]0, 1[).
4.2 - Soient N ∈ N, h = 1/(N + 1) et x i = ih, pour i = 0, .., N + 1 et K i = [x i , x i+1 ],
pour i = 0, ..., N. Soit
V h = {v h ∈ C 0 ([0, 1]) tel que v h | Ki ∈ P 1 , i = 0, 1, ..., N, etv(0) = v(1) = 0}.
Montrer que le problème discretisé par des éléments finis P 1 sur le maillage ci-dessus
s’écrit sous la forme
A h U h = F h .
Donner l’expression de A h et F h .
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