énoncé - Inria

TD MA201
Exercice 4.
Cours Eléments Finis
Méthodes des éléments finis en dimension
1
Soit f ∈ L 2 (]0, 1[) et b(x) : ]0, 1[→ R vérifiant :
O < b min ≤ b(x) ≤ b max ≤ 0, pour x ∈]0, 1[.
On s’intéresse au problème suivant :
⎧
⎪⎨ − d
dx (b(x)du (x))
dx
= f(x) x ∈]0, 1[
⎪⎩
u(0) = u(1) = 0.
4.1 - Ecrire la formulation variationnelle de ce problème et démontrer l’existence et l’unicité
de la solution u ∈ H 1 0(]0, 1[).
4.2 - Soient N ∈ N, h = 1/(N + 1) et x i = ih, pour i = 0, .., N + 1 et K i = [x i , x i+1 ],
pour i = 0, ..., N. Soit
V h = {v h ∈ C 0 ([0, 1]) tel que v h | Ki ∈ P 1 , i = 0, 1, ..., N, etv(0) = v(1) = 0}.
Montrer que le problème discretisé par des éléments finis P 1 sur le maillage ci-dessus
s’écrit sous la forme
A h U h = F h .
Donner l’expression de A h et F h .
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