Séance n 4 Eléments finis en dimension 1 et 2 Corrigé - Inria

TD MA201Calcul ScientifiqueOn choisit la fonction test v = Π h u − u h . On a alorsa(Π h u − u, Π h u − u h ) = a(Π h u − u h , Π h u − u h ).On va utiliser la continuité et la coercivité de a démontré à la question 1.1.d’oùα‖Π h u − u h ‖ 2 H 1 ≤ |a(Π hu − u, Π h u − u h )| ≤ C‖Π h u − u‖ H 1‖Π h u − u h ‖ H 1A l’aide de l’inégalité triangulaire‖Π h u − u h ‖ H 1 ≤ C‖Π h u − u‖ H 1.‖u − u h ‖ H 1 ≤ ‖u − Π h u‖ H 1 + ‖Π h u − u h ‖ H 1 ≤ (C + 1)‖Π h u − u‖ H 1.Or ‖Π h − u‖ H 1 ≤ C 1 h‖u‖ H 2 ≤ C 2 h‖f‖ L 2. On obtient l estimation d’erreur désirée :‖u − u h ‖ H 1 ≤ Ch.La constante C fait intervenir la constante de coercivité α, la constante de la continuité dea, la constante d’erreur d’interpolation et ‖f‖ L 2. Elle ne dépend pas de h.Exercice 2. Eléments finis P 1 en dimension 22.1 - On suppose l’existence du triplet (λ 1 , λ 2 , λ 3 ), on va montrer l’unicité. Nous allonsprouver d’abord que :λ 1 (S 1 ) = 1, λ 2 (S 1 ) = 0, λ 3 (S 1 ) = 0.Supposons par l’absurde que λ 1 (S 1 ) ≠ 1, nous avons alors :S 1 = λ 2(S 1 )S 2 − λ 3 (S 1 )S 31 − λ 1 (S 1 )(λ 2 (S 1 ), λ 3 (S 1 ) ≠ (0, 0))S 1 , S 2 et S 3 sont donc alignés, ce qui est exclu. Donc λ 1 (S 1 ) = 1.Supposons maintenant que λ 2 (S 1 ) ≠ 0, on a alors :λ 2 (S 1 )(S 2 − S 3 ) = 0Les point S 2 et S 3 sont confondus, ce qui est exclu. On a donc λ 2 (S 1 ) = λ 3 (S 1 ) = 0. Ondémontre de la même manière que :On cherche λ 1 de la formeλ 1 (S 2 ) = 0, λ 2 (S 2 ) = 1, λ 3 (S 2 ) = 0,λ 1 (S 3 ) = 0, λ 2 (S 3 ) = 0, λ 3 (S 3 ) = 1.λ 1 (x, y) = α(x − x 2 ) + β(y − y 2 ) + γ5