Intégration et Probabilités TD 2 : Intégrale de Lebesgue

1. Montrer que f est Lebesgue-intégrable sur [0, +∞[.
1
2. En utilisant un développement en série entière de
1+x
, montrer que
∫
+∞∑ (−1) n
f(x) λ 1 (dx) =
(a + nb) 2 .
[0,+∞[
Exercice 7 Pour a, b ∈ R + et b positifs, montrer que
Calculer x = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · ·
∫
Exercice 8 Calculer la valeur de I =
Exercice 9 On définit la fonction f :
]0,1[
∑
n∈N
∫∫
n=0
(−1) n ∫ 1
a + bn = t a−1
1 + t b dt.
0
ln x
x 2 − 1 λ 1(dx), en considérant l’intégrale double
[0,+∞[ 2
λ 2 (dx, dy)
(1 + y)(1 + x 2 y)
f(x, y) = sin (x) e −xy2 .
1. Cette fonction est-elle Lebesgue-intégrable sur R 2 +
2. Montrer que pour tout a > 0, f est Lebesgue-intégrable sur [0, a] × R + .
3. En∫utilisant le théorème de Fubini sur [0, a] × R + , puis en faisant tendre vers +∞, en déduire la valeur
de sin(t 2 )λ 1 (dt).
R +
Exercice 10 Soient f et g les fonctions définies sur R 2 par
∀(x, y) ∈ R 2 , f(x, y) = (x + y)1 {0