Intégration et Probabilités TD 2 : Intégrale de Lebesgue

École des Mines de Nancy Année 2009-2010
FICM 1ère Année
Intégration et Probabilités
TD 2 : Intégrale de Lebesgue
Dans tous les exercices, λ d désigne la mesure de Lebesgue sur R d et δ a la masse de Dirac en a.
Exercice 1 Soient µ une mesure positive sur l’espace mesurable (Ω, A) et A ∈ A tel que A ≠ ∅. Nous posons
∀B ∈ A, ν(B) = µ(A ∩ B).
1. Vérifier que ν est une mesure positive sur (Ω, A).
2. Déterminer les fonctions ν-intégrables.
Exercice 2 Considérons sur R la mesure discrète ν =
sur R par rapport à ν.
+∞∑
k=1
1
+∞∑
k δ 1/k + δ k . Caractériser les fonctions intégrables
k=2
Exercice 3 Soit α ∈ R. Pour tout n ∈ N ∗ , considérons la fonction f n définie sur [0, 1] par
( ) −1
∀x ∈ [0, 1], f n (x) = x α + ex .
n
1. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ , f n est Lebesgue-intégrable sur [0, 1].
∫
2. Déterminer, si elle existe, lim f n (x)λ 1 (dx).
n→+∞
[0,1]
Exercice 4 Soit a ∈]0, +∞[. Pour tout n ∈ N ∗ , considérons la fonction f n définie sur ] − ∞, a] par
∀x ∈ R, f n (x) = 1 + enx
1 + e 2nx ex .
1. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ , f n est Lebesgue-intégrable sur ] − ∞, a].
∫
2. Déterminer, si elle existe, lim f n (x)λ 1 (dx).
n→+∞
]−∞,a]
Exercice 5 (Examen Avril 2007)
( √ ) x
Pour tout n ∈ N ∗ et tout x ∈ [0, 1], posons f n (x) = n sin 2 n 1/3 .
1. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ , f n est Lebesgue-intégrable sur [0, 1].
∫
2. Déterminer, si elle existe, lim f n (x)λ 1 (dx).
n→+∞
Exercice 6 (Examen Avril 2007)
Soit a ∈]0, +∞[, b ∈]0, +∞[ et f la fonction définie sur [0, +∞[ par
[0,1]
∀x ∈ [0, +∞[, f(x) =
1
xe−ax
1 + e −bx .

1. Montrer que f est Lebesgue-intégrable sur [0, +∞[.
1
2. En utilisant un développement en série entière de
1+x
, montrer que
∫
+∞∑ (−1) n
f(x) λ 1 (dx) =
(a + nb) 2 .
[0,+∞[
Exercice 7 Pour a, b ∈ R + et b positifs, montrer que
Calculer x = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · ·
∫
Exercice 8 Calculer la valeur de I =
Exercice 9 On définit la fonction f :
]0,1[
∑
n∈N
∫∫
n=0
(−1) n ∫ 1
a + bn = t a−1
1 + t b dt.
0
ln x
x 2 − 1 λ 1(dx), en considérant l’intégrale double
[0,+∞[ 2
λ 2 (dx, dy)
(1 + y)(1 + x 2 y)
f(x, y) = sin (x) e −xy2 .
1. Cette fonction est-elle Lebesgue-intégrable sur R 2 +
2. Montrer que pour tout a > 0, f est Lebesgue-intégrable sur [0, a] × R + .
3. En∫utilisant le théorème de Fubini sur [0, a] × R + , puis en faisant tendre vers +∞, en déduire la valeur
de sin(t 2 )λ 1 (dt).
R +
Exercice 10 Soient f et g les fonctions définies sur R 2 par
∀(x, y) ∈ R 2 , f(x, y) = (x + y)1 {0