2. PROBLEMI ISOPERIMETRICI

2. PROBLEMI ISOPERIMETRICI• Problema isoperimetrico “classico”:Tra le figure piane di perimetro fissato trovare quella di area massima.• Cosa vuol dire trovare il massimo o il minimo?Trova l’eventuale elemento massimo e quello minimo nei seguenti insiemi.1. { 1 n : n ∈ N}; { 1 n 2 : n ∈ N};2. {n : n ∈ N};3. {|a + b| : |a|, |b| ≤ 1, a, b ∈ R};4. { √ ab : a + b = 1, a, b ∈ R + };5. {|x| : x ∈ R};6. { 1x 2 +1: x ∈ R}.Conoscere delle stime (delle disuguaglianze) per delle quantità, ci aiuta in qualche modo a stabilirne il massimoe il minimo?• PROBLEMA ISOPERIMETRICO PER I RETTANGOLI:(i) Tra tutti i rettangoli di area fissata, quale ha il perimetro minimo?(ii) Tra tutti i rettangoli di perimetro fissato, quale ha area massima?Che relazione c’è tra la soluzione alla domanda (i) e quella alla domanda (ii)?• PROBLEMA ISOPERIMETRICO PER I PARALLELOGRAMMI: Tra tutti i parallelogrammi diperimetro fissato, quale ha l’area massima?[Con le formule di trigonometria si può esprimere l’area di un parallelogramma in funzione delle lunghezze dei lati. Che relazione c’ètra l’area di un parallelogramma e quella del rettangolo se le due figure hanno i lati lunghi uguali?]• DISUGUAGLIANZA ISOPERIMETRICA PER I PARALLELOGRAMMI: Che relazione sussiste trail perimetro e l’area di un qualunque parallelogramma? Trova una relazione che leghi A e P 2 .[SUGGERIMENTO: il problema isoperimetrico ci dice che l’area di un parallelogramma è sempre minore o uguale di...]Oss: tale relazione vale, in generale, per quadrilateri qualunque, anche non parallalogrammi.Esercizio 1. Tra tutti i parallelepipedi di superficie fissata, quale ha il massimo volume?Esercizio 2. Tra tutti i cilindri circolari retti di volume fissato, quale ha la minima superficie?[SUGGERIMENTO: chiama h l’altezza del cilindro e r il raggio di base. Considera S 6πdove S è la superficie. Che quantità è?]• Che relazione sussiste tra l’area e le lunghezze dei lati di un triangolo?FORMULA DI ERONE: Indichiamo con A e con P l’area e il perimetro del triangolo.lunghezze dei suoi lati. Vale allora)(i) 16A 2 =((a + b) 2 − c)(c 2 2 − (a − b) 2 , o equivalentementeSiano a, b, c le(ii) 16A 2 = P(P − 2a)(P − 2b)(P − 2c), o equivalentemente√P(iii) A =2 ( P 2 − a)( P 2 − b)( P 2 − c).• Una volta fissata l’area di un triangolo, si può delimitare il suo perimetro tra due valori?[posso cioè trovare due numeri α, β per cui vale α ≤ P ≤ β?]• Considera la classe dei rettangoli di perimetro fissato. Posso delimitarne l’ area tra due valori?[posso cioè trovare due numeri α, β per cui vale α ≤ A ≤ β?]1

• PROBLEMA ISOPERIMETRICO PER I TRIANGOLI: Tra tutti i triangoli di perimetro fissato, qualeha area massima?• DISUGUAGLIANZA ISOPERIMETRICA PER I TRIANGOLI: Che relazione sussiste tra il perimetroe l’area di un qualunque triangolo? Trova una realazione che leghi A e P 2 .[SUGGERIMENTO: il problema isoperimetrico ci dice che l’area di un triangolo è sempre minore o uguale di...]• PROBLEMA ISOPERIMETRICO PER I POLIGONI: Fissato N ∈ N, tra tutti i poligoni con N lati eperimetro fissato, quale ha area massima?(i) Tra tutti i triangoli con la stessa base e lo stesso perimetro, quale ha area massima?[SUGGERIMENTO: come può essere costruita la classe dei triangoli con perimetro fissato e con la stessa base?](ii) Tra tutti i quadrilateri con perimetro fissato e tre lati di uguale lunghezza (e valore assegnato), quale haarea massima?Prova ad utilizzare (i) e (ii) per dimostrare il problema isoperimetrico per i poligoni.dimostrando:(a) Se P è un poligono massimante, allora P è equilatero;(b) Se P è un poligono massimante, allora P è equiangolo.Procedi per passi• DISUGUAGLIANZA ISOPERIMETRICA PER I POLIGONI: Fissato N ∈ N consideriamo la classedegli N-agoni di perimetro P. Che disuguaglianza sussiste tra il perimetro e l’area di ogni N-agono? (unN-agono è un poligono con N lati)Esercizio 3. Come si può utilizzare la disuguaglianza isoperimetrica per i poligoni per dimostrarne unaanaloga valida per figure piane qualunque?• DISUGUAGLIANZA ISOPERIMETRICA: Sia P il perimetro di una figura piana fissata e sia A la suaarea. Vale alloraP 2 ≥ 4π A .Quando vale l’uguale?2