2. PROBLEMI ISOPERIMETRICI

• PROBLEMA ISOPERIMETRICO PER I TRIANGOLI: Tra tutti i triangoli di perimetro fissato, qualeha area massima?• DISUGUAGLIANZA ISOPERIMETRICA PER I TRIANGOLI: Che relazione sussiste tra il perimetroe l’area di un qualunque triangolo? Trova una realazione che leghi A e P 2 .[SUGGERIMENTO: il problema isoperimetrico ci dice che l’area di un triangolo è sempre minore o uguale di...]• PROBLEMA ISOPERIMETRICO PER I POLIGONI: Fissato N ∈ N, tra tutti i poligoni con N lati eperimetro fissato, quale ha area massima?(i) Tra tutti i triangoli con la stessa base e lo stesso perimetro, quale ha area massima?[SUGGERIMENTO: come può essere costruita la classe dei triangoli con perimetro fissato e con la stessa base?](ii) Tra tutti i quadrilateri con perimetro fissato e tre lati di uguale lunghezza (e valore assegnato), quale haarea massima?Prova ad utilizzare (i) e (ii) per dimostrare il problema isoperimetrico per i poligoni.dimostrando:(a) Se P è un poligono massimante, allora P è equilatero;(b) Se P è un poligono massimante, allora P è equiangolo.Procedi per passi• DISUGUAGLIANZA ISOPERIMETRICA PER I POLIGONI: Fissato N ∈ N consideriamo la classedegli N-agoni di perimetro P. Che disuguaglianza sussiste tra il perimetro e l’area di ogni N-agono? (unN-agono è un poligono con N lati)Esercizio 3. Come si può utilizzare la disuguaglianza isoperimetrica per i poligoni per dimostrarne unaanaloga valida per figure piane qualunque?• DISUGUAGLIANZA ISOPERIMETRICA: Sia P il perimetro di una figura piana fissata e sia A la suaarea. Vale alloraP 2 ≥ 4π A .Quando vale l’uguale?2