LA GEOMETRIA IN MESOPOTAMIA

Misure di lunghezzaUnità di misura Nome sumero Nome accadico Equivalenza QuantitàDito SU.SI ubanum 1,6 cmCubito KUS ammatum 30 dita circa 50 cmCanna GI qanum 6 cubiti circa 3 metriNINDA 2 GI circa 6 metriUS60 NINDA circa 360 metriDANNA berum 30 US circa 11 Km

Misure di superficieUnità di misura Nome sumero Nome accadico EquivalenzaQuantitàSAR musarum 1 NINDA al quadrato circa 36 mqIKU ikum 100 SAR circa 3600 mqmqBUR burum 18 IKU circa 64800SHAR 60 BUR circa 3.900.000 mq

QUADRATI e RETTANGOLI9 sar 3 ninda15 sar3 ninda 5 nindaA=lxlA=bxh

TRIANGOLO o CUNEO?

TRIANGOLO o CUNEO?

TRIANGOLO o CUNEO?A=bxhA=(bxh)/2

TRIANGOLO o CUNEO?A=b x h2A=b x h2

TRIANGOLO o CUNEO?11A=(bxh)/2A=b x h2A=b x h21122

TRIANGOLO o CUNEO?A=(bxh)/2A=b x h2A=b x h2

TRIANGOLO o CUNEO?A=(bxh)/2A=b x h2A=b x h2

TRIANGOLO o CUNEO?A=(bxh)/2A=b x h2A=b x h21 2

TRIANGOLO o CUNEO?A=(bxh)/2A=b x h2A=b x h21 21 2

TRIANGOLO o CUNEO?123A=(bxh)/2A=b x h2A=b x h2

TRIANGOLO o CUNEO?23211123A=(bxh)/2A=b x h2A=b x h2

ALTEZZA o LUNGHEZZA?

MS 3042 Schoyen collectionL'area di un triangoloVerso: vuoto

MS 3042 Schoyen collectionL'area di un triangolo

MS 3042 Schoyen collectionL'area di un triangolo SAG “davanti”3UŠ Lunghezza8, 305, 40Osservazionitesto scolastico di insegnamento elementare- non si distingue tra “altezza” e “lato lungo”

MS 3042 Schoyen collectionL'area di un triangolo SAG “davanti”3UŠ Lunghezza8 305 40Unità di misuralunghezza ninda (circa 6m)areasar (ninda x ninda)= 36 mq circaOsservazionitesto scolastico di insegnamento elementare- interpretazione valori numerici5 40 -----> 5, 40 ninda (notazione sessagesimale)3 -----> 3, 00 nindaIn generale:misure corrispondenti a campi coltivati(problemi concreti ?)

MS 3042 Schoyen collectionL'area di un triangolo SAG “davanti”3UŠ Lunghezza8 305 40Unità di misuralunghezza ninda (circa 6m)areasar (ninda x ninda)= 36 mq circaiku (1, 40 ninda x ninda)Osservazionitesto scolastico di insegnamento elementare- interpretazione valori numerici5 40 -----> 5, 40 ninda (notazione sessagesimale)3 -----> 3, 00 ninda

MS 3042 Schoyen collectionL'area di un triangolo SAG “davanti”3UŠ Lunghezza5 408 30?A=?A=(b x h) /25 40 x 3 00 / 2 = ?5 4032 001517 0017 00 | 21610 606008 30

MS 3042 Schoyen collectionL'area di un triangolo SAG “davanti”3UŠ Lunghezza5 408 30?A=?A=(b x h) /25 40 x 3 00 / 2 5 40 x 3 00 x 30

5 40 x 3 = ?

5 40 x 3 = ?

5 40 x 3 = ?

5 40 x 3 = ?

5 40 x 3 = ?

5 40 x 3 = ?

5 40 x 3 = ?

5 40 x 3 = 17

17 00 x 00 30 = ?

17 00 x 00 30 = ?x =7x10=707x10=[1 10]

17 00 x 00 30 = ?

17 00 x 00 30 = ?x =10x10=10010x10=[1 40]?

17 00 x 00 30 = ?

17 00 x 00 30 = ?

17 00 x 00 30 = ?

17 00 x 00 30 = ?

17 00 x 00 30 = 8 30

MS 3042 Schoyen collectionL'area di un triangolo SAG “davanti”3UŠ Lunghezza5 408 30?5 40 x 3 00 x 30voltevolteA=?A=(b x h) /2

MS 2107 Schoyen collectionL'area di un trapezio

MS 2107 Schoyen collectionL'area di un trapezio

MS 2107 Schoyen collectionL'area di un trapezioOsservazione: I trapezi sono molto comuni

MS 2107 Schoyen collectionL'area di un trapezio3 30301 18 45 15- interpretazione valori numerici3 30 -----> 3, 30 ninda (notazione sessagesimale)15 -----> 15 ninda30 -----> 30 ninda

MS 2107 Schoyen collectionL'area di un trapezioDati: lunghezzeIncognite: areaA = (B+b)xh / 2303 301 18 45 15

MS 2107 Schoyen collectionL'area di un trapezioDati: lunghezzeIncognite: areaA = (B+b)xh / 2303 301 18 45 15

MS 2107 Schoyen collectionL'area di un trapezioDati: lunghezzeIncognite: areaA = (B+b)xh / 2303 301 18 45 15?

MS 2107 Schoyen collectionL'area di un trapezioDati: lunghezzeIncognite: areal3Formula del geometratrapezi isosceliA = (l1+l2)xl3x30l1l2quadrilateriA = (l1+l2)x(l3+l4)x15lati opposti

MS 2107 Schoyen collectionL'area di un trapezioDati: lunghezzeIncognite: areal3Formula del geometratrapezi isosceliA = (l1+l2)xl3x30altezzalato obliquol1l2

MS 2107 Schoyen collectionL'area di un trapezioDati: lunghezzeIncognite: areal3Formula del geometratrapezi isosceliA = (l1+l2)xl3x30l1l2A = (l1+l2)xl3/230 = [00; 30 ]= 30/60= 1/2

MS 2107 Schoyen collectionL'area di un trapezioDati: lunghezzeIncognite: areal3Formula del geometratrapezi isosceliA = (l1+l2)xl3x30l1l2quadrilateri15 = [00; 15] = 1/4A = (l1+l2)x(l3+l4)x15A = (l1+l2)x(l3+l4)2 2

MS 2107 Schoyen collectionL'area di un trapezioDati: lunghezzeIncognite: areaA = (l1+l2)xl3x30Calcoliamo(30+15)x 3 30 x 30303 301 18 45 1530+15

(30+15)x 3 30 x3045 x 3 30 = ?x =

45 x 3 30 = ?

45 x 3 30 = ?x =40x10=40040x10=[6 40]

45 x 3 30 = ?x =40x10=40040x10=6 40

45 x 3 30 = ?50+50+50+40+40+40=270=4x60+30

45 x 3 30 = ?6+6+6+4=22

45 x 30 = 22 306+6+6+4=22

45 x 30 = 22 3045 x 3 = ?

45 x 30 = 22 3045 x 3 = ?

45 x 30 = 22 3045 x 3 = ?

45 x 30 = 22 3045 x 3 = ?4+4+4+1=13 decine =2 sessantine + 1 decina

45 x 30 = 22 3045 x 3 = ?4+4+4+1=13 decine =2 sessantine + 1 decina

45 x 30 = 22 3045 x 3 = 2 15 00

MS 2107 Schoyen collectionL'area di un trapezio45 x 30 = 22 3045 x 3 = 2 15 0045 x 3 30 = 2 37 302 37 30 x 30 = 1 18 45Da fare!

YBC 7240L'area di un trapezio (2)

YBC 7240L'area di un trapezio (2)2 202 20 5 3 20 2Formula delgeometratrapezi isosceliA = (l1+l2)xl3x305,3,20 = (2,20+2)x2,20x30.

CIRCONFERENZA e CERCHIOLe “nostre” formulecirconferenzadiametroc=2π rd=2rc=πdRaggio (o diametro)misure fondamentaliarea A= πr 2

YBC 7302Che numeri?Che relazione fra loro?

YBC 7302Che numeri?Che relazione fra loro?3459La loro posizione indica il significato:3 si riferisce al contorno45 all'”interno”9 = 3 x 345 = 9 x 5

YBC 7302Che numeri?Che relazione fra loro?3459La loro posizione indica il significato:3 si riferisce al contorno45 all'”interno”9 = 3 x 345 = 9 x 5 [;45] = [9] x [;5]9 x 1/12 = 9/12 =3/4 = 45/60

YBC 7302Che numeri?Che relazione fra loro?3diametrod=2rc=πd459area A=πr 2Come avremmo fatto noi:c=2π r9 = 3 x 3r=c/2πr= 3/2π=3/2·3,14=0,4777A=π(c/2π) 2 =c 2 /4π=9/4π=0,71619A= πr 2 A=π0,4777 2 =0,71619oppure45 = 9 x 5 [;45] = [9] x [;5]9 x 1/12 = 9/12 =3/4 = 45/60= 0,75

CIRCONFERENZA e CERCHIOLe “nostre” formulecirconferenzadiametroc=2π rd=2rc=πdarea A= πr 2A=c 2 /4πLe formule babilonesicirconferenzaarea A=[0; 05] x c 2A=1/12 c 2diametrocd=c/3“contorno” misura fondamentalemolti esempi; l'area è sempre calcolata apartire dalla circonferenza, anche quandosi conosce il diametrola parola “kippatum” (cosa che curva)indica sia il cerchio (“pieno”) che il bordo

CIRCONFERENZA e CERCHIOLe “nostre” formulecirconferenzadiametroc=2π rd=2rc=πdarea A= πr 2Le formule babilonesicirconferenzaarea A=[0; 05] x c 2A= c 2 /12A= c 2 · 1/12diametrocd=c/3La corrispondenzac=2π r → r=c/2π → r 2 =c 2 /4π 2A= c 2 /4πA= c 2 · 1/4·3π corrisponde a 3... qualche altro caso: π ≈ 3.1

CIRCONFERENZA e CERCHIOUn triangolo equilatero inscritto in un cerchioProblema più avanzatofigura estremamente precisaFriberg p. 207

CIRCONFERENZA e CERCHIOUn triangolo equilatero inscritto in un cerchioProblema più avanzatofigura estremamente precisaI calcoli dello scribala circonferenza è c=1 00 (ninda)ciascun arco è 20 (ninda) 20/60=1/3il diametro è d=c/3 quindi 20, il raggio 10l'area del cerchio C=1/12 c 2 = 0; 05 c 2 =5 00Come ha ottenuto l'area dei segmenti circolari?B = (C-A) : 3 = (5 00 – 1 52;30): 3= 1 02;30l'area del triangolo A?L'area dei segmenti circolari B?

CIRCONFERENZA e CERCHIOUn triangolo equilatero inscritto in un cerchioProblema più avanzatofigura estremamente precisaI calcoli dello scribala circonferenza è c=1 00 (ninda)ciascun arco è 20 (ninda) 20/60=1/3il diametro è d=c/3 quindi 20, il raggio 10l'area del cerchio C=1/12 c 2 = 0; 05 c 2 =5 00l'area del triangolo A?L'area dei segmenti circolari B?Come ha ottenuto l'area del triangolo?1 52 30 si ottiene come 15 x 15 /2Errore!h=r+a=10+5=15b:a=(a+r):bMa non trova b!b:5=15:bPrende la base del triangolo uguale all'altezza!

DIAGONALI E TEOREMA DI PITAGORA?Yale Babylonian Collection YBC 7289rectoverso

DIAGONALI E TEOREMA DI PITAGORA?Yale Babylonian Collection YBC 7289La prima testimonianza nota relativa alteorema di Pitagoradatabile tra il 1800 e il 1600 a. C. (periodopaleobabilonese)Mesopotamia meridionalerecto

DIAGONALI E TEOREMA DI PITAGORA?Yale Babylonian Collection YBC 7289Teorema di Pitagoraa 2 +b 2 =c 2

DIAGONALI E TEOREMA DI PITAGORA?Yale Babylonian Collection YBC 7289Teorema di Pitagora3?43 2 +4 2 =c 29+16=25c 2 =25 c=5a 2 +b 2 =c 2

DIAGONALI E TEOREMA DI PITAGORA?Yale Babylonian Collection YBC 7289Caso del triangolo rettangolo isosceleTeorema di Pitagora1?1a 2 +b 2 =c 2

DIAGONALI E TEOREMA DI PITAGORA?Yale Babylonian Collection YBC 7289Caso del triangolo rettangolo isosceleTeorema di Pitagora1?1 2 +1 2 =c 21+1=2c 2 =2c=?1a 2 +b 2 =c 2

DIAGONALI E TEOREMA DI PITAGORA?Yale Babylonian Collection YBC 7289Caso del triangolo rettangolo isosceleTeorema di Pitagora1?1 2 +1 2 =c 21+1=21a 2 +b 2 =c 2c 2 =2 C=√2 = 1, 414213562373095048801...

DIAGONALI E TEOREMA DI PITAGORA?Yale Babylonian Collection YBC 7289Diagonale del quadrato1?1?1 2 +1 2 =c 21+1=21c 2 =2 C=√2 = 1, 414213562373095048801...

DIAGONALI E TEOREMA DI PITAGORA?Yale Babylonian Collection YBC 7289Diagonale del quadrato30c=?30?3030 2 +30 2 =c 2c=√900+900=√900x2=√1800 = 42,42639 ...=√900x√2=30x√2= 42,42639 ...

DIAGONALI E TEOREMA DI PITAGORA?Yale Babylonian Collection YBC 72891;24,51,10,42;25,35,30Che relazione tra questi numeri?1;24,51,10 x 30 = 42;25,35

DIAGONALI E TEOREMA DI PITAGORA?Yale Babylonian Collection YBC 7289forma1;24,51,10, 1+24/60+51/60decimale 2 +10/60 342;25,35, 42+25/60+35/60 2

DIAGONALI E TEOREMA DI PITAGORA?Yale Babylonian Collection YBC 7289forma1;24,51,10, 1+24/60+51/60decimale 2 +10/60 3 1,4142142;25,35, 42+25/60+35/60 2 342,42639Il primo è un’ottima approssimazione della radice di 2;il secondo è la diagonale del quadrato di lato 30, ed è uguale alprodotto di 30 per il primo numero.

DIAGONALI E TEOREMA DI PITAGORA?Yale Babylonian Collection YBC 7289forma1;24,51,10, 1+24/60+51/60decimale 2 +10/60 3 1,4142142;25,35, 42+25/60+35/60 2 342,42639conoscenza del teorema di Pitagora, almeno nel caso deltriangolo con i cateti uguali ?Questa tavoletta da sola non dimostra che i Babilonesi conoscessero il “teorema di Pitagora”nella sua generalità, ma esistono altre tavolette ...

Plimpton 322 (1800 a.C. circa)

Plimpton 322 (1800 a.C. circa)tabellaquattro colonne di numeriquindici righequarta colonna:lista di numeri da 1 a 15seconda e terza colonnasono completamente visibiliangolo della prima colonnascheggiato

Plimpton 322 (1800 a.C. circa)tabellaquattro colonne di numeriquindici righequarta colonna:lista di numeri da 1 a 15seconda e terza colonnasono completamente visibiliangolo della prima colonnascheggiato

Plimpton 322 (1800 a.C. circa)colonna 1b 2 /a 2 col. 2bcol.3cInterpretazioniterne pitagoriche,terne di numeri interia 2 +b 2 =c 2colonna 1b 2 /a 2colonna 2bcolonna 3cNeugebauer (1951)

Plimpton 322 (1800 a.C. circa)colonna 1b 2 /a 2 col. 2bcol.3cInterpretazionitavola trigonometrica diquadrati di cosecanti chevanno da 45° fino a 30°David E. Joyce 1995I babilonesi conoscevano l”'angolo”?

PROPORZIONI E SIMILITUDINEanche in geometria- in una configurazione di forma ben definitale lunghezze sono proporzionalile aree sono proporzionali al quadrato di una dimensione lineare--------------> tabelle di “costanti tecniche”

PROPORZIONI E SIMILITUDINE

PROPORZIONI E SIMILITUDINETRIANGOLI SIMILIIM55357Datazione: 1800 aC circa

TRIANGOLI SIMILI1-4 dati5 domanda6-16 risposte con calcoli

1-4 datiAC=[1,]=60,BC=[1,15]=75,AB=[45]=45Un cuneo (triangolo). La lunghezza è 1, lalunghezza lunga è 1 25, la larghezza di sopra è45.L'area completa è 22 30,l'area più in alto 8 6,quella successiva 5 11; 2 24,la terza 3 19; 3 59, 9, 36quella più in basso 5,53 ;53,39,50,24NOTA:Il triangolo è rettangolo3, 4, 5 terna pitagorica45=3x15, 60=4x15, 75=5x15

1-4 datiAC=[1,]=60, =1BC=[1,15]=75, =1.25AB=[45]=45 =0.75ABC=[22,30]=1350 =0.375ABD=[8,6]=486 =0.135EAD=[5,11 ;2,24]=311.04, =0.0864FDE=[3,19 ;3,59,9,36]=199.0664333 =0.055296FEC=[5,53 ;53,39,50,24]=653.8944 .=0.098304

5. domandatenendo conto del testo che segue(lo scriba non finisce)BD,AD,AE,ED.Quali sonola lunghezza superiorela lunghezza del segmento (“spalla”)la lunghezza in bassola perpendicolare?

anche BAD, ADE, DEF, EFGrettangoli ?dal disegno e dall'usodal procedimentodai datiSi usa la “similitudine” dei triangoliABC, DAB, EAD?BD,AD,AE,ED.Quali sonola lunghezza superiorela lunghezza del segmento (“spalla”)la lunghezza in bassola perpendicolare?I babilonesi conoscevano la “similitudine”?

6-16. soluzionetriangolo ABC simile al triangoloDBA[;8,6][;8,6]triangolo rettangolo[;0,27]

276-16. soluzioneHøyrup0;45?27Tu, per sapere come si procede, igi 1,la lunghezza, per 0;45 eleva“igi” = “l'inverso di”0;45[;8,6]l'inverso di AC per AB0;45 vedi=[0,45]0;1290;270.450;45 per 2 moltiplica1;30 vediper 0;08 06,la superficie più in alto, moltiplica0;12 9 vedi. Per 0;12 9, qual è il lato delquadrato?0;27 è il lato del quadrato

276-16. soluzioneoppure

36.6276-16. soluzione[0;27]13;30.45Dividi [in due] 0;27.Vedrai 0;13 30.Igi di 13;30.reciprocoMoltiplica per 0;08 06, l'area di sopraVedi 0;36, la lunghezza che è lacorrispondente di 0;45, la larghezza.[0;36]

3627.456-16. soluzioneIn un triangolo rettangolo 3 4 5a(ABC)= 1 3 a 22 4in un triangolo rettangolo r s ta(ABC)= 1 r a 22 s

3648.80276-16. soluzioneIgi di 48; vedi 1;151;15 moltiplica per 0;360;45 vedi.45Tu, per sapere come si procede, igi 1,la lunghezza, per 0;45 eleva0;45 vedi0;450;45 per 2 moltiplicaper 0;05 11 02 24 moltiplica0;07 46 33 36 vedi. Per 0;07 46 33 36,qual è il lato del quadrato?0;21 36 è il lato del quadrato0;45 per 2 moltiplica1;30 vediper 0;08 06,la superficie più in alto, moltiplica0;12 9 vedi. Per 0;12 9, qual è il lato delquadrato?0;27 è il lato del quadrato

3648.80276-16. soluzioneDividi in due 0;21 36Vedi 0;10 48Igi di 0;10 48.....Il testo è interrottoED.45Dividi [in due] 0;27.Vedi 0;13 30.Igi di 13;30.reciprocoMoltiplica per 0;08 06, l'area di sopraVedi 0;36, la lunghezza che è lacorrispondente di 0;45, la larghezza.