Série 2 - lamsin

Analyse Numérique – Série 2 2
2– On pose, pour k ∈ {2, 3, . . . , n} :
⎛
A k =
⎜
⎝
⎞
A k−1 v k
wk t a kk
⎟
⎠ , où v k ∈ R k−1 et w k ∈ R k−1 .
En supposant connue la factorisation A k−1 = L k−1 U k−1 et en écrivant :
⎛ ⎞ ⎛
⎞
L k−1 0 U k−1 q k
A k = ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠ , où m k ∈ R k−1 , q k ∈ R k−1 et u kk ∈ R,
m t k
1 0 u kk
montrer comment on peut déterminer la factorisation A k = L k U k .
3– Déduire de ce qui précède une méthode pour la détermination de la factorisation A = LU de la matrice A.
Exercice 7
Soit A ∈ M n (R) une matrice symétrique définie positive et B ∈ M m,n (R), avec 1 ≤ m < n. On considère
la matrice carrée M ∈ M m+n (R) définies par blocs de la manière suivante :
( )
A B
T
M =
B O
1– Examiner si la matrice M est symétrique et si elle est définie positive.
2– Montrer que M est inversible, si et seulement si on a
∀ y ∈ R m (B T y = 0 ⇒ y = 0)
3– On suppose que M est inversible et on cherche à la décomposer, en utilisant la même écriture par blocs
donnée ci-dessus, sous la forme suivante :
⎛
⎞ ⎛ ⎞
L 1 O L T 1 B1
T
M = ⎝
⎠ ⎝ ⎠
B 1 −L 2 O L T 2
où L 1 et L 2 sont deux matrices triangulaires inférieures.
Montrer que cette décomposition est possible et donner une méthode permettant de déterminer L 1 , L 2 et B 1 .
Exercice 8
Soit A ∈ M n (R) et B ∈ M m (R) deux matrices inversibles admettant chacune une factorisation ”LU” :
A = L A U A ,
L A ∈ M n (R)
U A ∈ M n (R)
triangulaire inférieure à diagonale unité
triangulaire supérieure
B = L B U B ,
L B ∈ M m (R)
U B ∈ M m (R)
Soit M ∈ M n+m (R) définie (par blocs) comme suit :
( )
A O
M =
O B
1. Montrer que M est inversible.
2. Montrer que M admet une factorisation LU unique.
triangulaire inférieure à diagonale unité
triangulaire supérieure
3. Proposer alors une méthode pour résoudre le système linéaire Mx = b, où b ∈ R n+m et donner le nombre
d’opérations élémentaires.
ENIT 2008/2009