Chapitre 3 - lamsin

Chapitre 3INTÉGRATION NUMÉRIQUE3.1 IntroductionOn cherche à calculer l’intégrale :I =∫ baf(x)w(x)dx (3.1)avec w(x) et f(x) deux fonctions définies sur [a, b] telles que w(x) > 0 sur ]a, b[ et f(x)w(x) estintégrable sur [a, b].Hormis quelques cas simples, où une primitive de fw peut être trouvée (et il faut inclure dansce cas le calcul par changement de variables où l’intégration par parties), on ne sait pas calculercette intégrale.En outre, il arrive fréquemment qu’on ne connaisse la fonction que par ses valeurs en certainspoints. Il est alors hors de question de calculer exactement l’intégrale I. L’intégration numériqueest une idée ”naturelle”. L’intégrale de Riemann en fournit l’idée première.On considère une subdivision uniforme : a = x 0 < x 1 < ... < x n = b de l’intervalle [a, b],(x i = a + i b−an, i ∈ {0, 1, ...., n}) et on remplace I par :I =∫ baavec α i ∈ [x i−1 , x i ]Et on a :f(x)w(x)dx ≈lim S n = I =n→+∞∫ ban∑(x i − x i−1 ) f(α i ) w(α i ) = b − ani=1f(x)w(x)dxLa procédure de l’intégration numérique est donc de chercher à remplacerune somme finie :n∑i=1f(α i ) w(α i ) = S n∫ baf(x)w(x)dx par39

∫ baf(x)w(x)dx =où E n (f) désigne le terme de l’erreur commise en remplaçant I parn∑i=1De telles formules sont appelées formules de quadrature.λ i f(α i ) + E n (f) (3.2)n∑i=1λ i f(α i ).L’idée de base dans la recherche des points x i (noeuds de la formule de quadrature) et descoefficients λ i (poids de la formule de quadrature), c’est de remplacer la fonction f par unpolynôme d’interpolation. Dans ce cas, deux formules seront présentées :-Les formules de Newton-Cotes.-Les formules de quadrature de Gauss.Remarque 3.1Lorsque les poids λ i sont indépendants de la fonction f (c’est le cas pour les formules de typeinterpolation), les applications :n∑f → λ i f(α i ) et f → E n (f)i=1sont linéaires.Remarque 3.2En remarquant que :∫ bg(x)dx = b − a ∫ 1g( b − a t + b + aa2 −1 2 2 ) dtOn peut toujours ramener l’intégration sur [a, b] à une intégration sur [−1, +1] qu’on peutprendre comme intervalle de référence.Définition 3.1.1On dira que la formule de quadrature (4.2) est de degré k si E n (P ) = 0 pour tout P dans IP ket s’il existe P ∈ IP k+1 tel que E n (P ) ≠ 0, où IP j est l’ensemble des polynômes de degré ≤ j.Autrement dit, en tenant compte de la remarque 3.1, la formule de quadrature (4.2) est de degrék si : pour toute base (P 0, P 1, .....P k , P k+1 ) de IP k+1 avec deg(P i ) = i, on a :E n (P i ) = 0 ∀ i ∈ {0, ..., k} et E n (P k+1 ) ≠ 0.Exemple 3.1 : (Formule du rectangle à gauche )On prend dans la formule (4.2) α i = x i−1 et w(x) = 1, on obtient alors la formule suivante :∫ bf(x)dx = b − a n∑f(x i−1 ) + E n (f)na= b − ani=1n−1∑i=0f(a + i b − an ) + E n(f)Détermination du terme d’erreur E n (f) :Supposons que f est de classe C 1 sur [a, b]. D’après la formule des accroissements finis, on a :Pour tout x ∈ [x i , x i+1 ], il existe ξ i ∈ [x i , x i+1 ] tel que :f(x) = f(x i ) + (x − x i ) f ′ (ξ i )40

d’où ∫ xi+1∫ xi+1f(x)dx = (x i+1 − x i ) f(x i ) + (x − x i ) f(ξ i )dxx i x iOr, puisque f ′ est continue et x − x i ≥ 0 sur [x i, x i+1 ], il existe, d’après le théorème de la∫moyenne appliqué à f ′ , un élément η i ∈ [x i , x i+1 ] tel que :xi+1∫ xi+1(x − x i )f(ξ i )dx = f ′ (η i ) (x − x i )dx = (x i+1 − x i ) 2f ′ (η i )x i x i2On a alors :∫ baf(x)dx =n−1∑i=0n−1i=0∫ xi+1x if(x) dx∑n−1∑ (x i+1 − x i ) 2= (x i+1 − x i ) f(x i ) +f ′ (η i )2= b − ann−1∑i=0f(x i ) +i=0(b − a)22n 2n−1∑i=0f ′ (η i )D’après le théorème de la moyenne, il existe η ∈ [a, b] tel que :n−11 ∑f ′ (η i ) = f ′ (η).ni=0On obtient enfin :∫ baf(x)dx = b − ann−1∑i=0f(a + i b − a (b − a)2) +n 2nExemple 3.2 : (Formule du rectangle à droite )On prend dans la formule (4.2) α i = x iprécédemment la formule suivante :∫ baf(x)dx = b − ann∑i=1Exemple 3.3 : (Formule du point milieu)On prend dans la formule (4.2) α i = x i + x i−12∫ bDétermination de l’erreur E n (f)af ′ (η) avec η ∈ [a, b]et w(x) = 1, on obtient de la même manière quef(a + i b − a (b − a)2) +n 2nf(x)dx = b − a2n−1∑i=0f ′ (η) avec η ∈ [a, b]et w(x) = 1, on obtient la formule suivante :f( x + x i i+1) + E n (f)2Supposons que f est de classe C 2 sur [a, b]. D’après la formule de Taylor, on a : pour toutx ∈ [x i , x i+1 ], il existe ξ i ∈ [x i , x i+1 ] tel que :f(x) = f( x + x i i+1) + (x − x + x i i+1) f ′ ( x + x i i+1) + 1 222 2 (x − x + x i i+1) 2 f ′′ (ξ i )2En procédant comme dans l’exemple 3.1 et en remarquant que :∫ xi+1(x − x + x i i+1)dx = 0 ,x i2on aboutit à la formule :∫ baf(x)dx = b − ann−1∑i=0f(a + (2i + 1) b − a (b − a)3) +2n 24n 2 f ′′ (η) avec η ∈ [a, b]41

3.2 Formules de Newton-Cotes fermées3.2.1 Formules simplesCe sont des formules de type interpolation en des points équidistants. Compe tenu de la remarque3.2, considérons l’intervalle de référence [−1, +1]. Il s’agit alors de construire des formules dutype :∫ 1−1g(t)dt = 2p∑i=0Avec p un entier naturel donné. Posons I p (g) = 2λ i,p g(t i ) + E p+1 (g) (3.3)p∑i=0λ i,p g(t i )Les formules de Newton-Cotes fermées consistent à choisir :1/ Les noeuds t i équidistants avec t 0 = −1 et t p = 1 donc t i = −1 + 2 pi pour i = 0, ..., p.2/ Les poids λ i,p tels que I p (g) =∫ 1Lagrange de g relativement aux points t 0 , t 1 , ...., t p .Lemme 3.2.1−1P p (t)dt où P p est le polynôme d’interpolation de laLes coefficients λ i,p (p fixé, et i = 0, 1, ..., p) sont donnés par la formule suivante :∫ 1λ i,p = 1 L i (t)dt2 −1où L i (t) est le polynôme de Lagrange de base relativement aux points t 0 , t 1 , ...., t p .ou encoreλ i,p = 1 p∫ p0p∏j = 0j ≠ iDémonstration( t − ji − j )dtpour i ∈ {0, 1, ..., p}.Soient L 0 , L 1 , ...., L p les polynômes de base de Lagrange associés aux points t 0 , t 1 , ..., t p . Lepolynôme P p (t) d’interpolation de la fonction g aux points t 0 , t 1 , ..., t p s’écrit alors :p∑P p (t) = g(t i )L i (t)On aI p (g) = 2et∫ 1−1D’où :i=0p∑i=0P p (t)dt =λ i,p = 1 2∫ 1−1λ i,p g(t i )p∑i=0L i (t)dt∫ 1g(t i ) L i (t)dt−112∫ 1−1p∏j = 0j ≠ i( t − t jt i − t j)dt pour i ∈ {0, 1, ..., p}42

Soit le changement de variable suivant : t = −1 + 2 p s alors :λ i,p = 1 ∫ p p∏( s − j )ds pour i ∈ {0, 1, ..., p}p 0 i − jj = 0Lemme 3.2.2j ≠ iLes coefficients λ i,p (p fixé , et i = 0, 1, ..., p ) vérifient :DémonstrationD’après le lemme 3.1∫ p p∏λ p−i,p = 1 p0j = 0λ p−i,p = λ i,p pour i ∈ {0, 1, ..., p}s − j( )ds pour i ∈ {0, 1, ..., p}p − i − jj ≠ p − iSi on calcule cette intégrale en faisant le changement de variables suivant : t = p − s on obtient :λ p−i,p = 1 ∫ p p∏( p − t − jp 0p − i − j )dt = 1 ∫ p p∏( t − jp 0 i − j )dt = λ i,pj = 0j = 0Lemme 3.2.3j ≠ p − ij ≠ iSi la fonction g est une fonction impaire sur [−1, 1], alors l’erreur de la formule d’intégration(4.3) est nulle : E p+1 (g) = 0.DémonstrationPuisque la fonction g est une fonction impaire sur [−1, 1], on a g(0) = 0 etComme∫ 1−1g(t)dt = 2on tire queE p+1 (g) = −2p∑i=0p∑i=0d’autre part on a :p∑λ i,p g(t i ) = ∑i=0p∑i=0i≺p/2λ i,p g(t i ) = ∑i≺p/2λ i,p g(t i )λ i,p g(t i )λ i,p g(t i )+ E p+1 (g)+ ∑i≻p/2λ i,p g(t i )λ i,p g(t i ) + λ p2 ,p g(t p2 ) + ∑Comme t p2 = 0 , g(0) = 0 , t p− i = −t idonci≻p/2si p est impairλ i,p g(t i )si p est pair∫ 1−1g(t)dt = 0.g(t p− i ) = −g(t i ) et que λ p−i,p = λ i,p43

on a :p∑λ i,p g(t i ) = ∑λ i,p g(t i ) + ∑i=0i≺p/2= ∑i≺p/2λ i,p g(t i )On conclut donc que E p+1 (g) = 0.i≻p/2− ∑i≺p/2λ p−i,p g(t p−i )λ i,p g(t i ) = 0.Proposition 3.2.1Si p est impair, alors la formule (4.3) est de degré ≥ p.Si p est pair, alors la formule (4.3) est de degré ≥ p + 1.DémonstrationOn a pour i ≤ p∫ 1−1L i (t)dt = 2 λ i,pOr par construction { les polynômes L i vérifient :1 si i = jL i (t j ) =0 si i ≠ jdoncp∑λ j,p L i (t j ) = λ i,p .j=0Si on applique la formule (4.3) aux polynômes de base de Lagrange L i , on obtient :∫ 1p∑L i (t)dt = 2 λ j,p L i (t j ) + E p+1 (L i )−1j=0on tire donc que E p+1 (L i ) = 0Comme les polynômes de Lagrange L 0 , L 1 , ...., L p forment une base de l’espace vectoriel IP p ona alors : pour tout P ∈ IP p E p+1 (P ) = 0. Donc la formule est de degré≥ p.Si, de plus, p est un entier pair alors la fonction g(t) = t p+1 est une fonction impaire et doncE p+1 (t p+1 ) = 0, d’après le lemme 3.3.Proposition { 3.2.2p si p est impairSoit N =p + 1 si p est pairon a {p∑λ j,p t k j = 0 pour k ≤ N , k impair1j=0k +1pour k ≤ N , k pairp∑En particulier λ j,p = 1.i=0DémonstrationD’après la proposition 3.1, on a ∀ k ≤ N E p+1 (t k ) = 0. Ce qui donne :p∑∫ {12 λ j,p t k j = t k 0 si k ≤ N et k impairdt =2−1k +1si k ≤ N , k pairi=044

Exemple 3.4 (Formule du Trapèze)On considère le cas p = 1, w(t) = 1 , t 0 = −1 , t 1 = 1 , λ 0,1 = λ 1,1 = 1 2, on obtient la formulesuivante :∫ 1Détermination de l’erreur E 2 (g)−1g(t)dt = g(−1) + g(1) + E 2 (g)Supposons que g est de classe C 2 sur [−1, 1] et soit P 1 le polynôme d’interpolation de Lagrangede g aux points −1, +1, alors on ag(t) − P 1 (t) = g′′ (η t )(t − 1)(t + 1) avec η t ∈ [−1, 1]2d’oùE 2 (g) = ∫ ∫ 11−1 (g(t) − P 1(t))dt = ( g′′ (η t )(t − 1)(t + 1) )dt−1 2Puisque le polynôme (t 2 − 1) garde un signe constant sur [−1, 1] et g ′′ est une fonction continuesur [−1, 1], on peut donc appliquer le théorème de la moyenne et on obtient :il existe η ∈ [−1, 1] tel que∫E 2 (g) = g′′ (η) 1(t 2 − 1) dt = − 2 2 −13 g′′ (η)Et d’après la remarque 3.2, on aura pour tout f de classe C 2 sur [a, b] on a :∫ baf(x)dx = b − a2(f(a) + f(b)) −(b − a)312f ′′ (η) η ∈ [−1, 1]3.2.2 Etude de l’erreur dans les formules de Newton-CotesThéorème 3.2.11/ Si p est pair , si f est de classe C p+2 ([a.b]), alors il existe η ∈ [a, b] tel que :∫ baf(x)dx = (b − a)p∑i=0λ i,p f(a + i b − ap ) − (b − a f (p+2) (η)p)p+3 (p + 2)!∫ p0t 2p∏(t − j)dtj=12/ Si p est impair, si f est de classe C p+1 ([a, b]), alors il existe η ∈ [a, b] tel que :∫ baf(x)dx = (b − a)p∑i=0λ i,p f(a + i b − ap ) − (b − a f (p+1) (η)p)p+2 (p + 1)!∫ p0 j=0p∏(t − j)dtDémonstrationNous donnons la démonstration dans le cas où p est pair. Le cas où p est impair est à traiter enexercice.Soit g ∈ C p+2 ([−1, 1]). Soit x ∈ [−1, 1]. Soit P le polynôme d’interpolation de Lagrange auxpoints t j = −1 + 2 pj , j = 0, 1, ...., p.Posons :* ∏ p∏(t) = (t − j)j=045

⎧h(x) =⎪⎨et⎪⎩g(x) − P (x)∏ (x)si x ̸∈ {t 0 , ...t p }h(t k ) = g′ (t k ) − P ′ (t k )∏ ′(t k )pourk = 0, ...., p(3.4)* α(x) = g′ (x) − P ′ (x) − h(x) ∏′ (x)∏ (x)si x ̸∈ {t 0 , ...t p }et* α(t k ) =Q ′(t k ) [g ′′ (t k )−P ′′ (t k )]− Q ′′ (t k ) [g ′ (t k )−P (t k )]2( Q′ pour k = 0, ...., p(t k )) 2h(x) = h(t k ) et lim α(x) = α(t k )x→tkOn vérifie facilement que limx→tkEn effetg(x) − P (x) (t − tlim h(x) = lim ∏ k )x→t k x→tk (x) (t − t k )= g′ (t k ) − P ′ (t k )∏ ′= h(t k )(t k )De la même manière, on obtient la deuxième égalité.= limx→tkg(x) − P (x)(t − t k )On conclut donc que les fonctions h et α sont continues sur [−1, 1].Lemme 3.2.4(t − t k )∏ (x)La fonction h définie par (3.4) est de classe C 1 sur [−1, 1]. De plus, ∀x ∈ [−1, 1], h ′ (x) = α(x)et il existe ξ = ξ(x) ∈ [−1, 1] tel que h ′ (x) = g(p+2) (ξ)(p + 2)!Démonstration1/ En définissant les fonctions h, ∏ et α comme précèdemment, on voit que la fonction h estdérivable en tout point x tel que x ̸∈ {t 0 , t 1 , ......, t p } et on a g(x) − P (x) = ∏ (x)h(x)d’oùg ′ (x) − P ′ (x) = ∏′ (x)h(x) + ∏ (x)h ′ (x)et doncg ′ (x) − P ′ (x) − ∏′ (x)h(x) = ∏ (x)h ′ (x)D’après la définition de la fonction α, on obtient α(x) = h ′ (x). Et comme α est continue, onconclut donc que la fonction h est de classe C 1 sur [−1, 1] et α(x) = h ′ (x) pour tout x ∈ [−1, 1].2/ Posons, pour x ∈ [−1, 1], Q x (t) = P (t) + h(x) ∏ (t) + (t − x)α(x) ∏ (t). On peut vériferfacilement qu’on a :* Le polynôme Q x est un polynôme de degré (p + 2), car ∏ est est un polynôme de degré (p + 1)et donc Q x ∈ IP p+2 .* Q x (t i ) = g(t i ) pour i = 0, 1, ..., p* Q x (x) = g(x) et Q ′ x(x) = g ′ (x) pour tout x* Q ′′ x(x) = g ′′ (x) pour x ∈ {t 0 , t 1 , ..., t p }Posons φ(t) = g(t) − Q x (t) alors on a :* φ(t i ) = 0 pour i ∈ {0, ..., p}* φ(x) = φ ′ (x) = 046

* φ ′′ (x) = 0 pour x ∈ {t 0 , t 1 , ..., t p }En appliquant le théorème de Rolle successivement à φ, φ ′ , φ ′′ , ......., φ (p) , on aboutit à l’existencede ξ = ξ(x) ∈ [−1, 1] tel que φ (p+1) (ξ) = 0.OrQ (p+2)x (t) = (p + 2)!α(x)carP (p+2) (t) = ∏ (p+2) (t) = 0et ((t − x) ∏ (t)) (p+2) = (p + 2)!donc : φ (p+1) (ξ) = 0 d’où α ′ (x) = g(p+2) (ξ)(p+2)!Lemme 3.2.5Si p est un entier pair, p = 2m, et ∏ (t) =vérifieDémonstration1/ on a :∏ ∏2m m−1∏(t) = (t − t j ) = t (t 2 − t 2 j)j=0j=0u(x) =∫ x−1∏(t − t j ) alors la fonction définie par :m−1j=0∏(t)dt ∀x ∈ [−1, 1]u(x) ≥ 0 ∀x ∈ [−1, 1]u(1) = u(−1) = 0car t 2m−j = −t j et donc ∏ (t) est une fonction impaire et alors u(1) = u(−1) = 0.2/Soit k ∈ {0, 1, ..., p}. On a ∏ (t) ≥ 0 pour t ∈ [t 2k , t 2k+1 ] et ∏ (t) ≤ 0 pour t ∈ [t 2k+1 , t 2k+2 ].La fonction u est donc croissante sur [t 2k , t 2k+1 ] et elle est décroissante sur [t 2k+1 , t 2k+2 ].3/On∫a, pour tout k tel que : 2k + 2 ≤ m,t2k+2 ∏∫ t2k+1 ∏∫ t2k+2 ∏(t)dt = (t)dt + (t)dtt 2k=t 2k∫ t2k+1 ∏2mt 2kj=0(posons s = t − 2==∫ t2k+1 ∏2mt 2k j=0∫ t2k+1(t − t j )dt +2m )(t − t j )dt +t 2k(t − t 2m + t − t −1 )( Comme t j = −1 + 2=∫ t2k+1Or, pour t ∈ [t 2k , t 2k+1 ], on a :t 2k+1∫ t2k+2 ∏2m2m j)t 2k+1j=0∫ t2k+1 2m−1t 2k j=−12k∏j=02(t + 1 2k∏t 2k2m ) (t − t j )j=0(t − t j )dt∏(s − t j )ds(t − t j )2m−1∏j=2k+12m−1∏j=2k+1(t − t j )dt(t − t j )dt47

* (t + 12m ) ≤ (t 2k+1 + 12m ) = −1 + 22m**2k∏j=02m−1= −1 + 12m1(2k + 1) +2m−1(4k + 2 + 1) ≤2(t − t j ) ≥ 0 ( produit de (2k + 1) facteurs positifs).∏j=2k+1∫ t2k+2donct 2k(t − t j ) ≤ 0 (produit de (2m − 2k − 1) facteurs négatifs).∏(t) dt ≥ 0 pour tout k tel que 2k + 2 ≤ m4/on a pour tout k tel que m < 2k + 2 ≤ 2m∫ t2k+2 ∏u(t 2k+2 ) =(t) dt=∫−1t2m−2k−2−1∏(t) dt∫ t2k+2+∫ t2k+2t 2m−2k−2∏(t) dt≤ 0 (car 2k + 2 ≤ m )= u(t 2m−2k−2 ) +∏(t) dt car t2m−2k−2 = −t 2k+2= u(t 2m−2k−2 )t −2k−2car ∏ est impaireD’où u(t 2k+2 ) ≥ 0 d’après 3/ et puisque 2m − 2k − 2 ≤ m.En conclusion, on a u(t 2k+2 ) ≥ 0 pour tout k∈ {0, ...., m − 1}. Et comme la fonction u estdonc croissante sur [t 2k , t 2k+1 ] et décroissante sur [t 2k+1 , t 2k+2 ] (d’après 1/ et 2/ ), on a alorsu(x) ≥ 0 pour tout x ∈ [−1, 1].Démonstration du théorème 3.1On a :E p+1 (g) ==∫ 1−1∫ 1−1g(t)dt − 2p∑i=0(g(t) − P (t))dt =λ i,p g(t i )∫ 1−1Par intégration par parties,∫on obtient :1E p+1 (g) = [h(t)u(t)] +1−1 − h ′ (t)u(t)dt−1h(t) ∏ (t)dt∫ 1= − h ′ (t)u(t)dt−1d’où d’après le lemme 3.4,∫ 1g (p+2) (ξ t )E p+1 (g) = −−1 (p + 2)! u(t)dtComme la fonction u est de signe constant et g (p+2) est continue sur [−1, 1], on en déduit, enappliquant le théorème des valeurs intermédiaires, l’existence d’un réel θ ∈ [−1, 1] tel que :∫E p+1 (g) = − g(p+2) (θ) 1u(t)dt(p + 2)! −1Or, par une intégration par parties, on obtient :48

∫ 1−1D’où :∫ 1−1u(t)dt = [(t + 1)u(t)] +1−1 − ∫ 1−1 (t + 1) ∏ (t)dt ==g(t)dt = 2∫ 1= −= −−1∫ 2s 20∫ 1−1(t + 1)p∏(t − t j ) dtp∏(t + 1) 2 (t + 1 − j ) dt changement de variable s = t + 1mj=1j=0p∏(s − j m ) ds changement de variable s = 1 m tj=1( 1m) p+3 ∫ pp∑i=00λ i,p g(t i ) +t 2p∏(t − j) dtj=1( 1mEn utilisant la remarque 3.2, on obtient :∫ baf(x)dx = (b − a)avec η ∈ [a, b]p∑i=0λ i,p f(a + i b − ap) p+3g (p+2) (θ)(p + 2)!∫ pt 20p∏(t − j) dtj=1) − (b − a f (p+2) (η)p)p+3 (p + 2)!∫ p0t 2p∏(t − j)dtj=1Exemple 3.5 (Formule de Simpson )Cas p = 2. On a λ 0,2 = λ 2,2 = 1 6 , λ 1,2 = 2 ∫ 23 et∫ baf(x)dx =(b − a)6(f(a)+ 4f( a + b2 ) + f(b) )−0t 2 (t − 1)(t − 2)dt = − 4 . On a donc :15(b − a)52880Exemple 3.6 (Formule De Boole)Cas p = 4. On a λ 0,4 = λ 4,4 = 790 , λ 1,4 = λ 3,4 = 1645 , λ 2,4 = 215 .L’application du théorème 3.1 donne en posant h = b − a :∫ 4b(b − a)f(x)dx = (7f(a) + 32f( a + h) + 12 f(a + 2h) + 32f(a + 3h)a90+7f(b) ) + Eavec E = − 8945( ) b − a 7f (6) (η) et η ∈ [a, b]43.3 Formules de Newton-Cotes composéesf (4 (η) avec η ∈ [a, b]D’après l’expression du terme d’erreur dans les formules de Newton-Cotes, on constate queces formules sont d’autant plus précises que la longeur de l’intervalle d’intégration b − a estpetit. C’est pour cela que ces formules sont en général utilisées d’une manière ”composée”. Plusprécisément : on subdivise l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles de même longueur : a = α 0

On applique alors la formule de quadrature sur [α i , α i+1 ], on obtient le :Théorème 3.3.1Soient p , n ∈ IN ∗ . On a, en posant h = b − an∫ baf(x)dxet λ i,p = 1 p∫ p0p∏j = 0j ≠ i(n−1∑= h λ 0 [ f(a) + f(b) ] + 2λ 0 f(a + ih)i=1 ⎞∑p−1∑n−1+ λ j f(a + ih + j h p ) ⎠ + E p+1,n (f)j=1i=0( t − ji − j )dt(3.5)avec :1/ Si p est pair et la fonction f est de classe C p+2 sur [a, b]( ) b − a p+3 ( ) 1 p+2f (p+2) (η)E p+1,n (f) =p n (p + 2)!∫ pt 20p∏(t − j) dt avec η ∈ [a, b]j=12/ Si p est impair et la fonction f est de classe C p+1 sur [a, b]( ) b − a p+2 ( ) 1 p+1f (p+1) (η)E p+1,n (f) =p n (p + 1)!∫ p0p∏(t − j) dt avec η ∈ [a, b]j=1DémonstrationOn a d’après le théorème 3.1 :∫ bn−1∑∫ αi+1f(x)dx =f(x) dxai=0 α i⎛⎞n−1∑p∑= (α i+1 − α i ) ⎝ λ j f(α i + j α i+1 − α i) + E i (f) ⎠pi=0j=0avec :1/Si p est pair et la fonction f est de classe C p+2 sur [a, b]( )αi+1 − α p+3i f (p+2) ∫(η i ) p p∏E i (f) =t 2 (t − j) dt avec η i ∈ [α i , α i+1 ]p(p + 2)!2/ Si p est impair et la fonction f est de classe C p+1 sur [a, b]( )αi+1 − α p+2i f (p+1) ∫(η i ) p p∏E i (f) =(t − j) dt avec η i ∈ [α i , α i+1 ]p(p + 1)!Or :* α i+1 − α ipd’où := h p00j=0j=150

n−1∑i=0(α i+1 − α i )⎛n−1∑= h ⎝i=0⎛⎝p∑j=0λ j f(α i + j α i+1 − α i)pn−1∑((λ 0 f(α i ) + λ p f(α i+1 )) +i=1i=0p−1∑j=1⎛n−1∑= h ⎝(λ 0 [f(a) + f(b)] + 2λ 0 f(a + ih) +⎞⎠⎞λ j f(α i + j h p ) ⎠p−1∑j=1* D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on an−11 ∑f (k) (η i ) = f (k) (η) avec η ∈ [a, b],nj=1où k = p + 1 si p est impair et k = p + 2 si p est pair.n−1∑λ ji=0⎞f(α i + j h p ) ⎠En utilisant ces trois égalités dans la formule donnée au début de la démonstration, on obtientla formule du théorème.Exemple 3.7 : (Formule du trapèze composée)Pour p = 1 et n ∈ IN ∗ on a :∫ (bf(x)dx = ( b − an−12n ) ∑f(a) + f(b) + 2ai=1)f(a + i b − a3n ) (b − a)−12n 2f ′′ (η)Exemple 3.8 : (Formule de Simpson composée)Pour p = 2 et n ∈ IN ∗ on a :∫ baf(x)dx[= ( b − an−16n ) ∑f(a) + f(b) + 2n−1∑+4i=0− 1 ( b − a90n 4 2i=1 ]f(a + (i + 1 2 )(b − an )) 5f ′′ (η)Exemple 3.9 :(Formule de Boole composée)Pour p = 4 et n ∈ IN ∗ on a :∫ b(b − a)f(x)dx = (7f(a) + 32f( a + h) + 12 f(a + 2h)a90+32f(a + 3h) + 7f(b) ) + Eavec E = − 8 ( ) b − a 7f (6) (η) et η ∈ [a, b]945 4f(a + i b − an )51

∫ baf(x)dx = ( h 90 ) (n−1∑7[f(a) + f(b)] + 14i=1f(a + ih)n−1∑+32{f(a + (i + 1 4 )h)) + f(a + (i + 3 }4 )h) i=0)n−1∑+12 f(a + (i + 1 2 )h)i=0− 8 ( ) b − a 7945n 6 f (6) (η)43.4 Formule de quadrature de GaussOn considère la formule de quadrature :∫ baf(x)w(x)dx =p∑i=0λ i f(α i ) + E p+1 (f) (3.6)Choisissons les poids λ i ainsi que les noeuds x i tels que la formule (4.3) soit de degré le plusélevé possible .Exemple 3.10 :Cas où p = 1, w(x) = 1 et [a, b] = [−1, 1].Cherchons λ 0 , λ 1 , x 0 , x 1 tels que la formule :∫ baf(x)w(x)dx =λ 0 f(x 0 ) + λ 1 f(x 1 ) + E 2 (f),soit de degré le plus élevé possible, c’est à dire tels que : E 2 (f) = 0 pour f(x) = x k aveck = 0, 1, .., m, et m le plus élevé possible. On aura donc :∫ 1∫−11∫−111dx = λ 0 + λ 1 = 2xdx = λ 0 x 0 + λ 1 x 1 = 0−1x 2 dx = λ 0 x 2 0 + λ 1 x 2 1 = 2 3∫ 1−1etc...x 3 dx = λ 0 x 3 0 + λ 1x 3 1 = 0Les quatres premières équations forment un système non linéaire qui admet comme solutionλ 0 = λ 1 = 1, x 0 = −x 1 =√33On ∫ obtient donc la formule :1√3f(x)dx = f(−−13 ) + f( √33 ) + E 2(f)où E 2 (f) est un polynôme de degré 3.3.4.1 Polynômes orthogonauxSoit w : [a, b] → IR telle que :52

* w soit continue sur ]a, b[ et w(x) > 0, ∀x ∈ ]a, b[*x → x k w(x) soit intégrable sur [a, b], ∀ k ∈ INOn définit sur IP (l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels) le produit scalaire :(P, Q) w =∫ 1−1Théorème 3.4.1w(x)P (x)Q(x)dxIl existe une suite (Q n ) n∈IN unique de polynômes telle que :1/ deg(Q n ) = n et Q n est monique (i.e : Le coefficient de x n est 1 dans Q n )2/ Pour tout P dans IP n−1 (le sous espace vectoriel de IP des polynômes de degré ≤ n − 1)Et la suite (Q n ) est définie par :Q 0 (x) = 1Q 1 (x) = x − (1,x)w(1,1) wQ n (x) = (x − α n )Q n−1 (x) − β n Q n−2 (x)(P, Q n ) w = 0avec α n = (xQ n−1, Q n−1 ) w, β n = γ n−1et γ k = (Q k , Q k ) wγ n−1γ n−2Démonstration1/Existence :En utilisant le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt sur la base canonique 1, x, x 2 , ...,on obtient :Q 0 (x) = 1Q 1 (x) = x − (1, x) w(1, 1) wn−1∑Q n (x) = x n − a i,n Q i (x) avec a i,n = (xn , Q i ) wγi=0iLes polynômes Q 0 , Q 1 , ..., Q n forment une base de l’espace vectoriel IP n .Ils sont orthogonauxentre eux par construction et ils vérifient les conditions 1/ et 2/. Il est clair que 1/ et 2/entrainent l’unicité de Q n .2/ Calcul des coefficientsOn a que, pour tout k ∈ IN ∗ , les polynômes Q 0 , Q 1 , ..., Q k forment une base de l’espace vectorielIP k et que tous les polynômes Q k sont moniques. Alors, pour tout k ∈ IN ∗ , Q k − xQ k−1 ∈ IP k−1∑k−1et il s’écrit d’une façon unique sous la forme Q k − xQ k−1 = µ i Q i . Comme les Q i sontorthogonaux on a :∑k−1∑k−1* ( Q k − xQ k−1 , Q k ) w = ( µ i Q i , Q k ) w = µ i (Q i , Q k ) w = 0d’oùi=0(Q k , Q k ) w = (xQ k−1 , Q k ) w pour tout k ∈ IN ∗* (Q k − xQ k−1 , Q j ) w = 0 pour tout j < k − 1 et pour tout k ∈ IN ∗i=0i=053

n−1∑Soit n ∈ IN ∗ . Alors on a Q n − xQ n−1 = µ i Q i et on peut calculer les produits scalairessuivants :* (Q n − xQ n−1 , Q n−1 ) w =D’autre parti=0( n−1)∑µ i Q i , Q n−1 = µ n−1 (Q n−1 , Q n−1 ) wi=0w(Q n − xQ n−1 , Q n−1 ) w = (Q n , Q n−1 ) w − (xQ n−1 , Q n−1 ) w = −(xQ n−1 , Q n−1 ) wd’oùµ n−1 = −(xQ n−1, Q n−1 ) w(Q n−1 , Q n−1 ) w(Q n − xQ n−1 , Q n−2 ) w =D’autre part( n−1)∑µ i Q i , Q n−2 = µ n−2 (Q n−2 , Q n−2 ) wi=0w(Q n − xQ n−1 , Q n−2 ) w = (Q n , Q n−2 ) w − (xQ n−1 , Q n−2 ) w = −(xQ n−1 , Q n−2 ) wd’oùµ n−2 = −(xQ n−1, Q n−2 ) w= − (Q n−1, xQ n−2 ) w(Q n−2 , Q n−2 ) w (Q n−2 , Q n−2 ) w* (Q n − xQ n−1 , Q j ) w = 0 pour tout j < n − 2On obtient donc Q n − xQ n−1 = µ n−1 Q n−1 + µ n−2 Q n−2Q n = (x − µ n−1 )Q n−1 + µ n−2 Q n−2avecµ n−1 = (xQ n−1, Q n−1 ) wet µ n−2 = − (Q n−1, xQ n−2 ) w(Q n−1 , Q n−1 ) w (Q n−2 , Q n−2 ) wEt en posantd’oùα n = µ n−1 et β n = −µ n−2 , on obtient les formules du théorème.Définition 3.4.1Les polynômes (Q n ) n∈IN définis au théorème 3.3, s’appellent les polynômes orthogonaux sur [a, b]relativement à la fonction poids w.Exemples classiques 3.11 :1/[a, b] = [−1, 1] et w(x) = 1. on a :Q 0 (x) = 1Q 1 (x) = xQ 2 (x) = x 2 − 1 3Q 3 (x) = x(x 2 − 3 5 )Q 4 (x) = x 4 − 6 7 x2 + 3 35 etc...Ces polynômes sont appelés les polynômes de Legendre.2/[a, b] = [−1, 1] et w(x) = 1 √1−x 2 on a :Q 0 (x) = 1Q n (x) = 1∗cos(n Arc cos(x))n ∈ IN2n−1 Ces polynômes sont appelés les polynômes de Tchebytchev et sont en général notés54

T n (x) = 1∗cos(n Arc cos(x)) n ∈ IN2n−1 Théorème 3.4.2Soit (Q n ) n∈IN la suite des polynômes orthogonaux sur [a, b] relativement à la fonction poids w.Alors les racines de Q n sont réelles, distinctes et appartiennent à ]a, b[ pour n ∈ IN ∗ .DémonstrationSoient α 1 , α 1 , ......, α m , les racines distinctes de Q n appartenant à ]a, b[. On a bien m ≤ n.Montrons alors que m = n. Raisonnons par l’absurde et supposons que m < nPosons ∏ m∏(x) = (x−α i ) alors le polynôme ∏ (x) ∈ IP n−1 car m < n donc ( ∏ (x), Q n (x)) w = 0d’où∫ bai=0w(x) ∏ (x)Q n (x)dx = 0,comme w(x) ∏ (x)Q n (x) garde un signe constant sur ]a, b[ alors ∏ (x)Q n (x) ≡ 0 ce qui estabsurde car deg(Q n ) = n ≥ 1.Théorème 3.4.3Pour tout n ∈ IN ; il existe une formule de quadrature unique,∫ bde degré ≥ 2n + 1. De plus :af(x)w(x)dx =n∑i=0λ i f(x i )+ E n+1 (f)1/ Les noeuds x i sont les racines de Q n+1 (le (n + 1) ième polynôme orthogonal sur ]a, b[ relativementà w).2/ λ i =oùL i (x) =∫ baL i (x) w(x)dxn∏j = 0j ≠ i( x − x jx i − x j) pour i ∈ {0, 1, ..., n}3/ Si f est de classe C 2n+2 sur [a, b] alors il existe η ∈ [a, b] tel que :E n+1 (f) = f (2n+2) (η)(2n + 2)!∫ ba[Q n+1 (x)] 2 w(x) dxDémonstration1/ unicitéPosons∏ (x) = n ∏j=0(x − x j )et soit P ∈ IP n alors∫ ba∏(x)P (x) w(x)dx = 055

car ∏ (x)P (x) ∈ IP 2n+1 . Donc ∏ est nécessairement le (n + 1) ième polynôme orthogonal sur]a, b[ relativement à w. Ses racines x 0 , x 1 , ...., x n sont donc définies d’une manière unique. Deplus, en écrivant que la formule est exacte pour tout L i (x) (les polynômes de base de Lagrange)appartenant à IP n , on obtient :λ i =∫ baL i (x) w(x)dxCe qui implique l’unicité des coefficients λ i .2/ExistenceSoit Q n+1 le (n + 1) ième polynôme orthogonal sur ]a, b[ relativement à w. On sait que ses racinessont distinctes et appartiennent à ]a, b[. Notons x 0 , x 1 , ..., x n ces racines alorsn∏Q n+1 (x) = (x − x j ).Posonsλ i =∫ baj=0L i (x)w(x)dxConsidérons (L 0 , ...., L n ) la base de l’espace IP n formé par les polynômes de Lagrange, alors toutn∑polynôme P de IP n s’écrit d’une manière unique sous la forme P (x) = α i L i (x) où les α isont des constantes réelles.Or puisque {1 si i = jL i (x j ) =0 si ≠ jon an∑P (x) = P (x i ) L i (x)d’où∫ baet donc∫ bai=0P (x) w(x)dx =P (x) w(x)dx =∫ ban∑i=0n∑P (x i ) L i (x) w(x)dx =i=0λ i P (x i ) .n∑P (x i )La formule est donc exacte pour tout polynôme P appartenant à IP n .i=0∫ bai=0L i (x) w(x)dxSoit maintenant le polynôme S ∈ IP 2n+1 , la division Euclidienne du polynôme S par le polynômeQ n+1 donne l’existence de deux polynômes P et R dans IP n tels que :S(x) = P (x)Q n+1 (x) + R(x)d’où, on a donc :∫ baS(x)w(x)dx ==∫ b∫aba∫ bP (x)Q n+1 (x) w(x)dx + R(x) w(x)dxan∑n∑R(x) w(x)dx = λ i R(x i ) = λ i S(x i )i=0Car la formule est exacte sur IP n et Q n+1 (x i ) = 0.La formule est donc exacte pour tout S dans IP 2n+1 .Pour S = L 2 i qui est un polynôme de IP 2n la formule est aussi exacte et on obtient :λ i = ∫ ba L2 i (x) w(x)dx et donc λ i > 0 pour i = 0, 1, ...., n.i=056

3/ Etude de l’erreurSoit H(x) le polynôme d’interpolation d’Hermite relativement aux points x 0 , x 1 ,..., x n tel queH(x i ) = f(x i ) et H ′ (x i ) = f ′ (x i ) pour i = 0, 1, ...., n. On a :∫ bn∑n∑H(x) w(x)dx = λ i H(x i ) = λ i f(x i )ai=0i=0Or, si f est de classe C 2n+2 sur [a, b] , on sait qu’il existe ξ dans [a, b] tel que :f(x) − H(x) = f (2n+2) (ξ)n∏(x − x j ) 2(2n + 2)!d’oùE n+1 (f) ==∫ ba∫ b∫abj=0f(x) w(x)dx −n∑i=0(f(x) − H(x)) w(x)dxλ i f(x i )f (2n+2) (ξ x )=Q 2a (2n + 2)!n+1(x)w(x)dxComme la fonction Q 2 n+1 (x) garde un signe constant et que f (2n+2) est continue sur [a, b], onaura :E n+1 (f) = f (2n+2) (η)(2n + 2)!Remarque 3.3∫ baQ 2 n+1(x)w(x)dx avec η ∈ [a, b].En fait, la formule du théorème 3.5 est de degré exactement égal à 2n + 1. En effet, pourf(x) = x 2n+2 , on a f (2n+2) (η) = (2n + 2)! et doncE n+1 (f) =∫ baRemarque 3.4Q 2 n+1(x)w(x)dx.Dans la formule de quadrature de Gauss à (n + 1) points (théorème 3.5), les coefficients λ ipeuvent s’exprimer sous la forme :γ nλ i =Q ′ n+1 (x i)Q n (x i ) = − γ n+1Q ′ n+1 (x i)Q n+2 (x i )avec γ k =∫ baDémonstration :Q 2 n+1 (x)w(x)dxLes racines polynômes Q n+1n∏Q n+1 (x) = (x − x j ).j=0sont x 0 , x 1 , ........, x n . Il s’écrit alorsOn sait aussi que le polynôme d’interpolation de Lagrange est :L i (x) =n∏j = 0( x − x j)x i − x jj ≠ iil est facile de voir que1 Q n+1 (x)L i (x) =Q ′ n+1 (x i) x − x i57

et le coefficient λ i est donné par :∫ b∫1 bQ n+1 (x)λ i = L i (x) w(x)dx =w(x)dxaQ n+1 (x i ) a x − x iCalculons alors Q n+1(x). D’après la relation de récurrence qui lie les polynômes (Q k ), on a :x − x iQ k+1 (x) = (x − α k+1 ) Q k (x) −γ kQ k−1 (x)γ k−1d’où :Q k+1 (x i ) = (x i − α k+1 ) Q k (x i ) − γ kQ k−1 (x i )γ k−1En multipliant la première équation par Q k (x i ) et la deuxième par Q k (x), puis en retranchantla première de la deuxième, on aura après division par γ k :Q k+1 (x)Q k (x i ) − Q k (x)Q k+1 (x i )γ k= (x − x i ) Q k(x)Q k (x i )γ k+ Q k(x)Q k−1 (x i ) − Q k−1 (x)Q k (x i )γ k−1Ce qui entraine que :n∑ Q k (x)Q k (x i )n∑(x − x i )=γ kk=1−k=1n∑k=1Q k+1 (x)Q k (x i ) − Q k (x)Q k+1 (x i )γ kQ k (x)Q k−1 (x i ) − Q k−1 (x)Q k (x i )γ k−1= Q n+1(x)Q n (x i )γ n− Q 1(x)Q 0 (x i ) − Q 0 (x)Q 1 (x i )γ 0= Q n+1(x)Q n (x i )γ n− (x − x i)γ 0D’où( n∑)Q n+1 (x) γ n Q k (x)Q k (x i )=+ 1 x − x i Q n (x i )γ k γ 0k=1d’où∫1 bQ n+1 (x)λ i =Q ′ n+1 (x w(x)dxi) a x − x i∫ (γ b n∑)nQ k (x)Q k (x i )=Q n (x i )Q ′ n+1 (x + 1 w(x)dxi) aγ k γ 0{ k=1n∑ ∫γ nQ k (x i ) b∫ b=Q n (x i )Q ′ n+1 (x Q k (x) w(x)dx +i) γ kk=1aaOr Q 0 (x) = 1, donc∫ baet ∫ baQ k (x) w(x)dx =∫ bQ 0 (x)Q 0 (x ) w(x)dx = γ 0 .On obtient donc :γ nλ i =Q n (x i )Q ′ n+1 (x i)D’après la relation de récurrence, on aQ n+2 (x) = (x − α n+2 ) Q n+1 (x) − γ n+1γnd’oùaQ k (x)Q 0 (x) w(x)dx = 0, pour k ≥ 1Q n(x)1γ 0w(x)dx}58

Q n+2 (x i ) = − γ n+1Q n (x i )γ nD’oùγnQ n (x i ) = − γ n+1Q n+2 (x i )et doncλ i =−γ n+1Q n+2 (x i )Q ′ n+1 (x i)Corollaire 3.4.1 (La formule de Gauss -Tchebytchev à (n + 1) points)f(x)Soit f une fonction définie sur [−1, 1] telle que √ soit intégrable. Alors, pour tout n dans1 − x 2IN :∫ 1−1f(x)√1 − x 2 dx =πn + 1n∑f(cosi=02i + 12(n + 1) π) + π 2f (2n+2) (η)4 n (2n + 2)!avec η ∈ [−1, 1].Démonstrationon a :Q n+1 (x) = T n+1 (x) = 12cos((n + 1) Arc cos(x)) n ∈ IN ∗2i + 1net x i = cos π ,pour i = 0, 1, ..., n.2(n + 1)Donc, en posant σ i = 2i+12(n+1) πQ ′ n+1(x i ) = − n + 12 n sin(n + 1)σ isin σ iet Q n+2 (x i ) = 12 n+1 sin(n + 1)σ i − sin σ iD’oùγ n+1 = ( 12 n )2 ∫ 1−1cos 2 ((n + 1) Arc cos(x))√1 − x2dx = 14 n ∫ π0cos 2 ((n + 1) s) ds = π 214 nλ i = −γ n+1Q ′ n+1 (x i) Q n+2 (x i )= πn + 1pour i = 0, ..., nḞindu chapitre 3.59