Chapitre 3 - lamsin

3.2 Formules de Newton-Cotes fermées3.2.1 Formules simplesCe sont des formules de type interpolation en des points équidistants. Compe tenu de la remarque3.2, considérons l’intervalle de référence [−1, +1]. Il s’agit alors de construire des formules dutype :∫ 1−1g(t)dt = 2p∑i=0Avec p un entier naturel donné. Posons I p (g) = 2λ i,p g(t i ) + E p+1 (g) (3.3)p∑i=0λ i,p g(t i )Les formules de Newton-Cotes fermées consistent à choisir :1/ Les noeuds t i équidistants avec t 0 = −1 et t p = 1 donc t i = −1 + 2 pi pour i = 0, ..., p.2/ Les poids λ i,p tels que I p (g) =∫ 1Lagrange de g relativement aux points t 0 , t 1 , ...., t p .Lemme 3.2.1−1P p (t)dt où P p est le polynôme d’interpolation de laLes coefficients λ i,p (p fixé, et i = 0, 1, ..., p) sont donnés par la formule suivante :∫ 1λ i,p = 1 L i (t)dt2 −1où L i (t) est le polynôme de Lagrange de base relativement aux points t 0 , t 1 , ...., t p .ou encoreλ i,p = 1 p∫ p0p∏j = 0j ≠ iDémonstration( t − ji − j )dtpour i ∈ {0, 1, ..., p}.Soient L 0 , L 1 , ...., L p les polynômes de base de Lagrange associés aux points t 0 , t 1 , ..., t p . Lepolynôme P p (t) d’interpolation de la fonction g aux points t 0 , t 1 , ..., t p s’écrit alors :p∑P p (t) = g(t i )L i (t)On aI p (g) = 2et∫ 1−1D’où :i=0p∑i=0P p (t)dt =λ i,p = 1 2∫ 1−1λ i,p g(t i )p∑i=0L i (t)dt∫ 1g(t i ) L i (t)dt−112∫ 1−1p∏j = 0j ≠ i( t − t jt i − t j)dt pour i ∈ {0, 1, ..., p}42