Chapitre 3 - lamsin

n−1∑i=0(α i+1 − α i )⎛n−1∑= h ⎝i=0⎛⎝p∑j=0λ j f(α i + j α i+1 − α i)pn−1∑((λ 0 f(α i ) + λ p f(α i+1 )) +i=1i=0p−1∑j=1⎛n−1∑= h ⎝(λ 0 [f(a) + f(b)] + 2λ 0 f(a + ih) +⎞⎠⎞λ j f(α i + j h p ) ⎠p−1∑j=1* D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on an−11 ∑f (k) (η i ) = f (k) (η) avec η ∈ [a, b],nj=1où k = p + 1 si p est impair et k = p + 2 si p est pair.n−1∑λ ji=0⎞f(α i + j h p ) ⎠En utilisant ces trois égalités dans la formule donnée au début de la démonstration, on obtientla formule du théorème.Exemple 3.7 : (Formule du trapèze composée)Pour p = 1 et n ∈ IN ∗ on a :∫ (bf(x)dx = ( b − an−12n ) ∑f(a) + f(b) + 2ai=1)f(a + i b − a3n ) (b − a)−12n 2f ′′ (η)Exemple 3.8 : (Formule de Simpson composée)Pour p = 2 et n ∈ IN ∗ on a :∫ baf(x)dx[= ( b − an−16n ) ∑f(a) + f(b) + 2n−1∑+4i=0− 1 ( b − a90n 4 2i=1 ]f(a + (i + 1 2 )(b − an )) 5f ′′ (η)Exemple 3.9 :(Formule de Boole composée)Pour p = 4 et n ∈ IN ∗ on a :∫ b(b − a)f(x)dx = (7f(a) + 32f( a + h) + 12 f(a + 2h)a90+32f(a + 3h) + 7f(b) ) + Eavec E = − 8 ( ) b − a 7f (6) (η) et η ∈ [a, b]945 4f(a + i b − an )51