Chapitre 3 - lamsin

d’où ∫ xi+1∫ xi+1f(x)dx = (x i+1 − x i ) f(x i ) + (x − x i ) f(ξ i )dxx i x iOr, puisque f ′ est continue et x − x i ≥ 0 sur [x i, x i+1 ], il existe, d’après le théorème de la∫moyenne appliqué à f ′ , un élément η i ∈ [x i , x i+1 ] tel que :xi+1∫ xi+1(x − x i )f(ξ i )dx = f ′ (η i ) (x − x i )dx = (x i+1 − x i ) 2f ′ (η i )x i x i2On a alors :∫ baf(x)dx =n−1∑i=0n−1i=0∫ xi+1x if(x) dx∑n−1∑ (x i+1 − x i ) 2= (x i+1 − x i ) f(x i ) +f ′ (η i )2= b − ann−1∑i=0f(x i ) +i=0(b − a)22n 2n−1∑i=0f ′ (η i )D’après le théorème de la moyenne, il existe η ∈ [a, b] tel que :n−11 ∑f ′ (η i ) = f ′ (η).ni=0On obtient enfin :∫ baf(x)dx = b − ann−1∑i=0f(a + i b − a (b − a)2) +n 2nExemple 3.2 : (Formule du rectangle à droite )On prend dans la formule (4.2) α i = x iprécédemment la formule suivante :∫ baf(x)dx = b − ann∑i=1Exemple 3.3 : (Formule du point milieu)On prend dans la formule (4.2) α i = x i + x i−12∫ bDétermination de l’erreur E n (f)af ′ (η) avec η ∈ [a, b]et w(x) = 1, on obtient de la même manière quef(a + i b − a (b − a)2) +n 2nf(x)dx = b − a2n−1∑i=0f ′ (η) avec η ∈ [a, b]et w(x) = 1, on obtient la formule suivante :f( x + x i i+1) + E n (f)2Supposons que f est de classe C 2 sur [a, b]. D’après la formule de Taylor, on a : pour toutx ∈ [x i , x i+1 ], il existe ξ i ∈ [x i , x i+1 ] tel que :f(x) = f( x + x i i+1) + (x − x + x i i+1) f ′ ( x + x i i+1) + 1 222 2 (x − x + x i i+1) 2 f ′′ (ξ i )2En procédant comme dans l’exemple 3.1 et en remarquant que :∫ xi+1(x − x + x i i+1)dx = 0 ,x i2on aboutit à la formule :∫ baf(x)dx = b − ann−1∑i=0f(a + (2i + 1) b − a (b − a)3) +2n 24n 2 f ′′ (η) avec η ∈ [a, b]41