Chapitre 3 - lamsin

3/ Etude de l’erreurSoit H(x) le polynôme d’interpolation d’Hermite relativement aux points x 0 , x 1 ,..., x n tel queH(x i ) = f(x i ) et H ′ (x i ) = f ′ (x i ) pour i = 0, 1, ...., n. On a :∫ bn∑n∑H(x) w(x)dx = λ i H(x i ) = λ i f(x i )ai=0i=0Or, si f est de classe C 2n+2 sur [a, b] , on sait qu’il existe ξ dans [a, b] tel que :f(x) − H(x) = f (2n+2) (ξ)n∏(x − x j ) 2(2n + 2)!d’oùE n+1 (f) ==∫ ba∫ b∫abj=0f(x) w(x)dx −n∑i=0(f(x) − H(x)) w(x)dxλ i f(x i )f (2n+2) (ξ x )=Q 2a (2n + 2)!n+1(x)w(x)dxComme la fonction Q 2 n+1 (x) garde un signe constant et que f (2n+2) est continue sur [a, b], onaura :E n+1 (f) = f (2n+2) (η)(2n + 2)!Remarque 3.3∫ baQ 2 n+1(x)w(x)dx avec η ∈ [a, b].En fait, la formule du théorème 3.5 est de degré exactement égal à 2n + 1. En effet, pourf(x) = x 2n+2 , on a f (2n+2) (η) = (2n + 2)! et doncE n+1 (f) =∫ baRemarque 3.4Q 2 n+1(x)w(x)dx.Dans la formule de quadrature de Gauss à (n + 1) points (théorème 3.5), les coefficients λ ipeuvent s’exprimer sous la forme :γ nλ i =Q ′ n+1 (x i)Q n (x i ) = − γ n+1Q ′ n+1 (x i)Q n+2 (x i )avec γ k =∫ baDémonstration :Q 2 n+1 (x)w(x)dxLes racines polynômes Q n+1n∏Q n+1 (x) = (x − x j ).j=0sont x 0 , x 1 , ........, x n . Il s’écrit alorsOn sait aussi que le polynôme d’interpolation de Lagrange est :L i (x) =n∏j = 0( x − x j)x i − x jj ≠ iil est facile de voir que1 Q n+1 (x)L i (x) =Q ′ n+1 (x i) x − x i57