Chapitre 3 - lamsin

car ∏ (x)P (x) ∈ IP 2n+1 . Donc ∏ est nécessairement le (n + 1) ième polynôme orthogonal sur]a, b[ relativement à w. Ses racines x 0 , x 1 , ...., x n sont donc définies d’une manière unique. Deplus, en écrivant que la formule est exacte pour tout L i (x) (les polynômes de base de Lagrange)appartenant à IP n , on obtient :λ i =∫ baL i (x) w(x)dxCe qui implique l’unicité des coefficients λ i .2/ExistenceSoit Q n+1 le (n + 1) ième polynôme orthogonal sur ]a, b[ relativement à w. On sait que ses racinessont distinctes et appartiennent à ]a, b[. Notons x 0 , x 1 , ..., x n ces racines alorsn∏Q n+1 (x) = (x − x j ).Posonsλ i =∫ baj=0L i (x)w(x)dxConsidérons (L 0 , ...., L n ) la base de l’espace IP n formé par les polynômes de Lagrange, alors toutn∑polynôme P de IP n s’écrit d’une manière unique sous la forme P (x) = α i L i (x) où les α isont des constantes réelles.Or puisque {1 si i = jL i (x j ) =0 si ≠ jon an∑P (x) = P (x i ) L i (x)d’où∫ baet donc∫ bai=0P (x) w(x)dx =P (x) w(x)dx =∫ ban∑i=0n∑P (x i ) L i (x) w(x)dx =i=0λ i P (x i ) .n∑P (x i )La formule est donc exacte pour tout polynôme P appartenant à IP n .i=0∫ bai=0L i (x) w(x)dxSoit maintenant le polynôme S ∈ IP 2n+1 , la division Euclidienne du polynôme S par le polynômeQ n+1 donne l’existence de deux polynômes P et R dans IP n tels que :S(x) = P (x)Q n+1 (x) + R(x)d’où, on a donc :∫ baS(x)w(x)dx ==∫ b∫aba∫ bP (x)Q n+1 (x) w(x)dx + R(x) w(x)dxan∑n∑R(x) w(x)dx = λ i R(x i ) = λ i S(x i )i=0Car la formule est exacte sur IP n et Q n+1 (x i ) = 0.La formule est donc exacte pour tout S dans IP 2n+1 .Pour S = L 2 i qui est un polynôme de IP 2n la formule est aussi exacte et on obtient :λ i = ∫ ba L2 i (x) w(x)dx et donc λ i > 0 pour i = 0, 1, ...., n.i=056