Chapitre 3 - lamsin

Exemple 3.4 (Formule du Trapèze)On considère le cas p = 1, w(t) = 1 , t 0 = −1 , t 1 = 1 , λ 0,1 = λ 1,1 = 1 2, on obtient la formulesuivante :∫ 1Détermination de l’erreur E 2 (g)−1g(t)dt = g(−1) + g(1) + E 2 (g)Supposons que g est de classe C 2 sur [−1, 1] et soit P 1 le polynôme d’interpolation de Lagrangede g aux points −1, +1, alors on ag(t) − P 1 (t) = g′′ (η t )(t − 1)(t + 1) avec η t ∈ [−1, 1]2d’oùE 2 (g) = ∫ ∫ 11−1 (g(t) − P 1(t))dt = ( g′′ (η t )(t − 1)(t + 1) )dt−1 2Puisque le polynôme (t 2 − 1) garde un signe constant sur [−1, 1] et g ′′ est une fonction continuesur [−1, 1], on peut donc appliquer le théorème de la moyenne et on obtient :il existe η ∈ [−1, 1] tel que∫E 2 (g) = g′′ (η) 1(t 2 − 1) dt = − 2 2 −13 g′′ (η)Et d’après la remarque 3.2, on aura pour tout f de classe C 2 sur [a, b] on a :∫ baf(x)dx = b − a2(f(a) + f(b)) −(b − a)312f ′′ (η) η ∈ [−1, 1]3.2.2 Etude de l’erreur dans les formules de Newton-CotesThéorème 3.2.11/ Si p est pair , si f est de classe C p+2 ([a.b]), alors il existe η ∈ [a, b] tel que :∫ baf(x)dx = (b − a)p∑i=0λ i,p f(a + i b − ap ) − (b − a f (p+2) (η)p)p+3 (p + 2)!∫ p0t 2p∏(t − j)dtj=12/ Si p est impair, si f est de classe C p+1 ([a, b]), alors il existe η ∈ [a, b] tel que :∫ baf(x)dx = (b − a)p∑i=0λ i,p f(a + i b − ap ) − (b − a f (p+1) (η)p)p+2 (p + 1)!∫ p0 j=0p∏(t − j)dtDémonstrationNous donnons la démonstration dans le cas où p est pair. Le cas où p est impair est à traiter enexercice.Soit g ∈ C p+2 ([−1, 1]). Soit x ∈ [−1, 1]. Soit P le polynôme d’interpolation de Lagrange auxpoints t j = −1 + 2 pj , j = 0, 1, ...., p.Posons :* ∏ p∏(t) = (t − j)j=045