Chapitre 3 - lamsin

On applique alors la formule de quadrature sur [α i , α i+1 ], on obtient le :Théorème 3.3.1Soient p , n ∈ IN ∗ . On a, en posant h = b − an∫ baf(x)dxet λ i,p = 1 p∫ p0p∏j = 0j ≠ i(n−1∑= h λ 0 [ f(a) + f(b) ] + 2λ 0 f(a + ih)i=1 ⎞∑p−1∑n−1+ λ j f(a + ih + j h p ) ⎠ + E p+1,n (f)j=1i=0( t − ji − j )dt(3.5)avec :1/ Si p est pair et la fonction f est de classe C p+2 sur [a, b]( ) b − a p+3 ( ) 1 p+2f (p+2) (η)E p+1,n (f) =p n (p + 2)!∫ pt 20p∏(t − j) dt avec η ∈ [a, b]j=12/ Si p est impair et la fonction f est de classe C p+1 sur [a, b]( ) b − a p+2 ( ) 1 p+1f (p+1) (η)E p+1,n (f) =p n (p + 1)!∫ p0p∏(t − j) dt avec η ∈ [a, b]j=1DémonstrationOn a d’après le théorème 3.1 :∫ bn−1∑∫ αi+1f(x)dx =f(x) dxai=0 α i⎛⎞n−1∑p∑= (α i+1 − α i ) ⎝ λ j f(α i + j α i+1 − α i) + E i (f) ⎠pi=0j=0avec :1/Si p est pair et la fonction f est de classe C p+2 sur [a, b]( )αi+1 − α p+3i f (p+2) ∫(η i ) p p∏E i (f) =t 2 (t − j) dt avec η i ∈ [α i , α i+1 ]p(p + 2)!2/ Si p est impair et la fonction f est de classe C p+1 sur [a, b]( )αi+1 − α p+2i f (p+1) ∫(η i ) p p∏E i (f) =(t − j) dt avec η i ∈ [α i , α i+1 ]p(p + 1)!Or :* α i+1 − α ipd’où := h p00j=0j=150