Chapitre 3 - lamsin

n−1∑Soit n ∈ IN ∗ . Alors on a Q n − xQ n−1 = µ i Q i et on peut calculer les produits scalairessuivants :* (Q n − xQ n−1 , Q n−1 ) w =D’autre parti=0( n−1)∑µ i Q i , Q n−1 = µ n−1 (Q n−1 , Q n−1 ) wi=0w(Q n − xQ n−1 , Q n−1 ) w = (Q n , Q n−1 ) w − (xQ n−1 , Q n−1 ) w = −(xQ n−1 , Q n−1 ) wd’oùµ n−1 = −(xQ n−1, Q n−1 ) w(Q n−1 , Q n−1 ) w(Q n − xQ n−1 , Q n−2 ) w =D’autre part( n−1)∑µ i Q i , Q n−2 = µ n−2 (Q n−2 , Q n−2 ) wi=0w(Q n − xQ n−1 , Q n−2 ) w = (Q n , Q n−2 ) w − (xQ n−1 , Q n−2 ) w = −(xQ n−1 , Q n−2 ) wd’oùµ n−2 = −(xQ n−1, Q n−2 ) w= − (Q n−1, xQ n−2 ) w(Q n−2 , Q n−2 ) w (Q n−2 , Q n−2 ) w* (Q n − xQ n−1 , Q j ) w = 0 pour tout j < n − 2On obtient donc Q n − xQ n−1 = µ n−1 Q n−1 + µ n−2 Q n−2Q n = (x − µ n−1 )Q n−1 + µ n−2 Q n−2avecµ n−1 = (xQ n−1, Q n−1 ) wet µ n−2 = − (Q n−1, xQ n−2 ) w(Q n−1 , Q n−1 ) w (Q n−2 , Q n−2 ) wEt en posantd’oùα n = µ n−1 et β n = −µ n−2 , on obtient les formules du théorème.Définition 3.4.1Les polynômes (Q n ) n∈IN définis au théorème 3.3, s’appellent les polynômes orthogonaux sur [a, b]relativement à la fonction poids w.Exemples classiques 3.11 :1/[a, b] = [−1, 1] et w(x) = 1. on a :Q 0 (x) = 1Q 1 (x) = xQ 2 (x) = x 2 − 1 3Q 3 (x) = x(x 2 − 3 5 )Q 4 (x) = x 4 − 6 7 x2 + 3 35 etc...Ces polynômes sont appelés les polynômes de Legendre.2/[a, b] = [−1, 1] et w(x) = 1 √1−x 2 on a :Q 0 (x) = 1Q n (x) = 1∗cos(n Arc cos(x))n ∈ IN2n−1 Ces polynômes sont appelés les polynômes de Tchebytchev et sont en général notés54