Chapitre 3 - lamsin

⎧h(x) =⎪⎨et⎪⎩g(x) − P (x)∏ (x)si x ̸∈ {t 0 , ...t p }h(t k ) = g′ (t k ) − P ′ (t k )∏ ′(t k )pourk = 0, ...., p(3.4)* α(x) = g′ (x) − P ′ (x) − h(x) ∏′ (x)∏ (x)si x ̸∈ {t 0 , ...t p }et* α(t k ) =Q ′(t k ) [g ′′ (t k )−P ′′ (t k )]− Q ′′ (t k ) [g ′ (t k )−P (t k )]2( Q′ pour k = 0, ...., p(t k )) 2h(x) = h(t k ) et lim α(x) = α(t k )x→tkOn vérifie facilement que limx→tkEn effetg(x) − P (x) (t − tlim h(x) = lim ∏ k )x→t k x→tk (x) (t − t k )= g′ (t k ) − P ′ (t k )∏ ′= h(t k )(t k )De la même manière, on obtient la deuxième égalité.= limx→tkg(x) − P (x)(t − t k )On conclut donc que les fonctions h et α sont continues sur [−1, 1].Lemme 3.2.4(t − t k )∏ (x)La fonction h définie par (3.4) est de classe C 1 sur [−1, 1]. De plus, ∀x ∈ [−1, 1], h ′ (x) = α(x)et il existe ξ = ξ(x) ∈ [−1, 1] tel que h ′ (x) = g(p+2) (ξ)(p + 2)!Démonstration1/ En définissant les fonctions h, ∏ et α comme précèdemment, on voit que la fonction h estdérivable en tout point x tel que x ̸∈ {t 0 , t 1 , ......, t p } et on a g(x) − P (x) = ∏ (x)h(x)d’oùg ′ (x) − P ′ (x) = ∏′ (x)h(x) + ∏ (x)h ′ (x)et doncg ′ (x) − P ′ (x) − ∏′ (x)h(x) = ∏ (x)h ′ (x)D’après la définition de la fonction α, on obtient α(x) = h ′ (x). Et comme α est continue, onconclut donc que la fonction h est de classe C 1 sur [−1, 1] et α(x) = h ′ (x) pour tout x ∈ [−1, 1].2/ Posons, pour x ∈ [−1, 1], Q x (t) = P (t) + h(x) ∏ (t) + (t − x)α(x) ∏ (t). On peut vériferfacilement qu’on a :* Le polynôme Q x est un polynôme de degré (p + 2), car ∏ est est un polynôme de degré (p + 1)et donc Q x ∈ IP p+2 .* Q x (t i ) = g(t i ) pour i = 0, 1, ..., p* Q x (x) = g(x) et Q ′ x(x) = g ′ (x) pour tout x* Q ′′ x(x) = g ′′ (x) pour x ∈ {t 0 , t 1 , ..., t p }Posons φ(t) = g(t) − Q x (t) alors on a :* φ(t i ) = 0 pour i ∈ {0, ..., p}* φ(x) = φ ′ (x) = 046