Chapitre 3 - lamsin

Soit le changement de variable suivant : t = −1 + 2 p s alors :λ i,p = 1 ∫ p p∏( s − j )ds pour i ∈ {0, 1, ..., p}p 0 i − jj = 0Lemme 3.2.2j ≠ iLes coefficients λ i,p (p fixé , et i = 0, 1, ..., p ) vérifient :DémonstrationD’après le lemme 3.1∫ p p∏λ p−i,p = 1 p0j = 0λ p−i,p = λ i,p pour i ∈ {0, 1, ..., p}s − j( )ds pour i ∈ {0, 1, ..., p}p − i − jj ≠ p − iSi on calcule cette intégrale en faisant le changement de variables suivant : t = p − s on obtient :λ p−i,p = 1 ∫ p p∏( p − t − jp 0p − i − j )dt = 1 ∫ p p∏( t − jp 0 i − j )dt = λ i,pj = 0j = 0Lemme 3.2.3j ≠ p − ij ≠ iSi la fonction g est une fonction impaire sur [−1, 1], alors l’erreur de la formule d’intégration(4.3) est nulle : E p+1 (g) = 0.DémonstrationPuisque la fonction g est une fonction impaire sur [−1, 1], on a g(0) = 0 etComme∫ 1−1g(t)dt = 2on tire queE p+1 (g) = −2p∑i=0p∑i=0d’autre part on a :p∑λ i,p g(t i ) = ∑i=0p∑i=0i≺p/2λ i,p g(t i ) = ∑i≺p/2λ i,p g(t i )λ i,p g(t i )λ i,p g(t i )+ E p+1 (g)+ ∑i≻p/2λ i,p g(t i )λ i,p g(t i ) + λ p2 ,p g(t p2 ) + ∑Comme t p2 = 0 , g(0) = 0 , t p− i = −t idonci≻p/2si p est impairλ i,p g(t i )si p est pair∫ 1−1g(t)dt = 0.g(t p− i ) = −g(t i ) et que λ p−i,p = λ i,p43