Chapitre 3 - lamsin

∫ 1−1D’où :∫ 1−1u(t)dt = [(t + 1)u(t)] +1−1 − ∫ 1−1 (t + 1) ∏ (t)dt ==g(t)dt = 2∫ 1= −= −−1∫ 2s 20∫ 1−1(t + 1)p∏(t − t j ) dtp∏(t + 1) 2 (t + 1 − j ) dt changement de variable s = t + 1mj=1j=0p∏(s − j m ) ds changement de variable s = 1 m tj=1( 1m) p+3 ∫ pp∑i=00λ i,p g(t i ) +t 2p∏(t − j) dtj=1( 1mEn utilisant la remarque 3.2, on obtient :∫ baf(x)dx = (b − a)avec η ∈ [a, b]p∑i=0λ i,p f(a + i b − ap) p+3g (p+2) (θ)(p + 2)!∫ pt 20p∏(t − j) dtj=1) − (b − a f (p+2) (η)p)p+3 (p + 2)!∫ p0t 2p∏(t − j)dtj=1Exemple 3.5 (Formule de Simpson )Cas p = 2. On a λ 0,2 = λ 2,2 = 1 6 , λ 1,2 = 2 ∫ 23 et∫ baf(x)dx =(b − a)6(f(a)+ 4f( a + b2 ) + f(b) )−0t 2 (t − 1)(t − 2)dt = − 4 . On a donc :15(b − a)52880Exemple 3.6 (Formule De Boole)Cas p = 4. On a λ 0,4 = λ 4,4 = 790 , λ 1,4 = λ 3,4 = 1645 , λ 2,4 = 215 .L’application du théorème 3.1 donne en posant h = b − a :∫ 4b(b − a)f(x)dx = (7f(a) + 32f( a + h) + 12 f(a + 2h) + 32f(a + 3h)a90+7f(b) ) + Eavec E = − 8945( ) b − a 7f (6) (η) et η ∈ [a, b]43.3 Formules de Newton-Cotes composéesf (4 (η) avec η ∈ [a, b]D’après l’expression du terme d’erreur dans les formules de Newton-Cotes, on constate queces formules sont d’autant plus précises que la longeur de l’intervalle d’intégration b − a estpetit. C’est pour cela que ces formules sont en général utilisées d’une manière ”composée”. Plusprécisément : on subdivise l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles de même longueur : a = α 0