Chapitre 3 - lamsin

* (t + 12m ) ≤ (t 2k+1 + 12m ) = −1 + 22m**2k∏j=02m−1= −1 + 12m1(2k + 1) +2m−1(4k + 2 + 1) ≤2(t − t j ) ≥ 0 ( produit de (2k + 1) facteurs positifs).∏j=2k+1∫ t2k+2donct 2k(t − t j ) ≤ 0 (produit de (2m − 2k − 1) facteurs négatifs).∏(t) dt ≥ 0 pour tout k tel que 2k + 2 ≤ m4/on a pour tout k tel que m < 2k + 2 ≤ 2m∫ t2k+2 ∏u(t 2k+2 ) =(t) dt=∫−1t2m−2k−2−1∏(t) dt∫ t2k+2+∫ t2k+2t 2m−2k−2∏(t) dt≤ 0 (car 2k + 2 ≤ m )= u(t 2m−2k−2 ) +∏(t) dt car t2m−2k−2 = −t 2k+2= u(t 2m−2k−2 )t −2k−2car ∏ est impaireD’où u(t 2k+2 ) ≥ 0 d’après 3/ et puisque 2m − 2k − 2 ≤ m.En conclusion, on a u(t 2k+2 ) ≥ 0 pour tout k∈ {0, ...., m − 1}. Et comme la fonction u estdonc croissante sur [t 2k , t 2k+1 ] et décroissante sur [t 2k+1 , t 2k+2 ] (d’après 1/ et 2/ ), on a alorsu(x) ≥ 0 pour tout x ∈ [−1, 1].Démonstration du théorème 3.1On a :E p+1 (g) ==∫ 1−1∫ 1−1g(t)dt − 2p∑i=0(g(t) − P (t))dt =λ i,p g(t i )∫ 1−1Par intégration par parties,∫on obtient :1E p+1 (g) = [h(t)u(t)] +1−1 − h ′ (t)u(t)dt−1h(t) ∏ (t)dt∫ 1= − h ′ (t)u(t)dt−1d’où d’après le lemme 3.4,∫ 1g (p+2) (ξ t )E p+1 (g) = −−1 (p + 2)! u(t)dtComme la fonction u est de signe constant et g (p+2) est continue sur [−1, 1], on en déduit, enappliquant le théorème des valeurs intermédiaires, l’existence d’un réel θ ∈ [−1, 1] tel que :∫E p+1 (g) = − g(p+2) (θ) 1u(t)dt(p + 2)! −1Or, par une intégration par parties, on obtient :48