Chapitre 3 - lamsin

* w soit continue sur ]a, b[ et w(x) > 0, ∀x ∈ ]a, b[*x → x k w(x) soit intégrable sur [a, b], ∀ k ∈ INOn définit sur IP (l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels) le produit scalaire :(P, Q) w =∫ 1−1Théorème 3.4.1w(x)P (x)Q(x)dxIl existe une suite (Q n ) n∈IN unique de polynômes telle que :1/ deg(Q n ) = n et Q n est monique (i.e : Le coefficient de x n est 1 dans Q n )2/ Pour tout P dans IP n−1 (le sous espace vectoriel de IP des polynômes de degré ≤ n − 1)Et la suite (Q n ) est définie par :Q 0 (x) = 1Q 1 (x) = x − (1,x)w(1,1) wQ n (x) = (x − α n )Q n−1 (x) − β n Q n−2 (x)(P, Q n ) w = 0avec α n = (xQ n−1, Q n−1 ) w, β n = γ n−1et γ k = (Q k , Q k ) wγ n−1γ n−2Démonstration1/Existence :En utilisant le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt sur la base canonique 1, x, x 2 , ...,on obtient :Q 0 (x) = 1Q 1 (x) = x − (1, x) w(1, 1) wn−1∑Q n (x) = x n − a i,n Q i (x) avec a i,n = (xn , Q i ) wγi=0iLes polynômes Q 0 , Q 1 , ..., Q n forment une base de l’espace vectoriel IP n .Ils sont orthogonauxentre eux par construction et ils vérifient les conditions 1/ et 2/. Il est clair que 1/ et 2/entrainent l’unicité de Q n .2/ Calcul des coefficientsOn a que, pour tout k ∈ IN ∗ , les polynômes Q 0 , Q 1 , ..., Q k forment une base de l’espace vectorielIP k et que tous les polynômes Q k sont moniques. Alors, pour tout k ∈ IN ∗ , Q k − xQ k−1 ∈ IP k−1∑k−1et il s’écrit d’une façon unique sous la forme Q k − xQ k−1 = µ i Q i . Comme les Q i sontorthogonaux on a :∑k−1∑k−1* ( Q k − xQ k−1 , Q k ) w = ( µ i Q i , Q k ) w = µ i (Q i , Q k ) w = 0d’oùi=0(Q k , Q k ) w = (xQ k−1 , Q k ) w pour tout k ∈ IN ∗* (Q k − xQ k−1 , Q j ) w = 0 pour tout j < k − 1 et pour tout k ∈ IN ∗i=0i=053