Chapitre 3 - lamsin

∫ baf(x)w(x)dx =où E n (f) désigne le terme de l’erreur commise en remplaçant I parn∑i=1De telles formules sont appelées formules de quadrature.λ i f(α i ) + E n (f) (3.2)n∑i=1λ i f(α i ).L’idée de base dans la recherche des points x i (noeuds de la formule de quadrature) et descoefficients λ i (poids de la formule de quadrature), c’est de remplacer la fonction f par unpolynôme d’interpolation. Dans ce cas, deux formules seront présentées :-Les formules de Newton-Cotes.-Les formules de quadrature de Gauss.Remarque 3.1Lorsque les poids λ i sont indépendants de la fonction f (c’est le cas pour les formules de typeinterpolation), les applications :n∑f → λ i f(α i ) et f → E n (f)i=1sont linéaires.Remarque 3.2En remarquant que :∫ bg(x)dx = b − a ∫ 1g( b − a t + b + aa2 −1 2 2 ) dtOn peut toujours ramener l’intégration sur [a, b] à une intégration sur [−1, +1] qu’on peutprendre comme intervalle de référence.Définition 3.1.1On dira que la formule de quadrature (4.2) est de degré k si E n (P ) = 0 pour tout P dans IP ket s’il existe P ∈ IP k+1 tel que E n (P ) ≠ 0, où IP j est l’ensemble des polynômes de degré ≤ j.Autrement dit, en tenant compte de la remarque 3.1, la formule de quadrature (4.2) est de degrék si : pour toute base (P 0, P 1, .....P k , P k+1 ) de IP k+1 avec deg(P i ) = i, on a :E n (P i ) = 0 ∀ i ∈ {0, ..., k} et E n (P k+1 ) ≠ 0.Exemple 3.1 : (Formule du rectangle à gauche )On prend dans la formule (4.2) α i = x i−1 et w(x) = 1, on obtient alors la formule suivante :∫ bf(x)dx = b − a n∑f(x i−1 ) + E n (f)na= b − ani=1n−1∑i=0f(a + i b − an ) + E n(f)Détermination du terme d’erreur E n (f) :Supposons que f est de classe C 1 sur [a, b]. D’après la formule des accroissements finis, on a :Pour tout x ∈ [x i , x i+1 ], il existe ξ i ∈ [x i , x i+1 ] tel que :f(x) = f(x i ) + (x − x i ) f ′ (ξ i )40