Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Université de Tunis El Manar 

Mastère de Mathématiques Appliquées 

Recueil d'Examens 

(2003 2011) 

Analyse Fonctionnelle 

Faker Ben Belgacem (UTC) – Henda El Fekih (ENIT) 

Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis 

B.P. 37 – 1002 Le Belvédère Tunis – Tunisie 

Tél. (+216) 71 874 700 Fax : (+216) 71 872 729 http://www.enit.rnu.tn

E.N.I.T. 


Examen – Analyse Fonctionnelle 

Enseignants : F. Ben Belgacem – H. El Fekih 

Durée : 4H00 

Date : 12 janvier 2004 

Documents personnels autorisés 

Les Exercices I et II sont très faciles, voire élémentaires pour des étudiants de 

Mastère! Il est recommandé aux candidats de répondre aux questions avec clarté et 

concision, et d’éviter les fioritures (ezz-aïed et ett-balbiz!) qui risquent de pénaliser 

la note. Le Probème III ne pose pas de difficulté majeure, son objectif est d’évaluer 

l’aptitude des étudiants à appliquer correctement la théorie de Hille-Yosida enseignée en 

cours. Le problème IV traite des problèmes linéaires elliptiques abstraits, il est important 

de bien comprendre ce qui est demandé avant de repondre aux questions 1 . Ce problème 

est probablement le plus difficile, . . . ou plutôt certainement le moins facile! 

Bon Travail! 

Exercice I : Préambule : Le théorème de Baire— Soit H un espace de Hilbert réel, et 

(H n ) n∈N une famille de fermés recouvrant H, (i.e. H = ∪ n H n ), alors l’un au moins des 

H n est d’intérieur non vide. 

Soit H un espace de Hilbert réel et D ⊂ H vérifiant la propriété suivante 

∀y ∈ H, ∃M y ∈ R + tel que |(x, y)| ≤ M y , ∀x ∈ D. 

On veut établir que D est un ensemble borné (C’est une généralisation du résultat bien 

connu en dimension fini : un ensemble d’un espace de Hilbert —ou d’un espace de 

Banach— est borné s’il est borné dans toutes les directions). A cette fin, on considère 

pour tout n ∈ N, l’ensemble 

H n = 

{ 

y ∈ H; |(x, y)| ≤ n, ∀x ∈ D 

} 

. 

I.1.– Dire pourquoi H n est fermé et remarquer que H = ⋃ n∈N 

H n . En déduire qu’il existe 

n 0 ∈ N, pour lequel H n0 

est d’intérieur non vide. 

I.2.– Soit B f (y 0 , r) ⊂ H n0 (B f (y 0 , r) est la boule fermée de centre y 0 et de rayon r), 

prouver que 

et en déduire que D est borné. 

|(x, z)| ≤ 1 r (n 0 + M y0 ), ∀z ∈ B f (0, 1), ∀x ∈ D, 

Exercice II : Soit H un espace de Hilbert réel dont le produit scalaire est noté (·, ·) et la 

norme associée ‖ · ‖. Soit (x n ) n∈N une suite de H ; on dit que x n converge faiblement vers 

x ∈ H si pour tout y ∈ H, la suite réelle (x n , y) converge vers (x, y), on écrit que x n ⇀ x 

dans H. Il est évident que si x n converge fortement vers x, i.e. ‖x n − x‖ converge vers 0, 

alors elle converge faiblement vers la même limite. 

II.1.– Etablir que si x n ⇀ x dans H (convergence faible) et que ‖x n ‖ → ‖x‖ (convergence 

forte) alors x n → x dans H (convergence forte). 

1 Ce qui se pense clairement s’exprime simplement! Dicton français.

Examen – Analyse Fonctionnelle 12 janvier 2004 

II.2.– Soit A ∈ L(H), montrer que A est faiblement continu, ce qui revient à établir que 

x n ⇀ x (dans H) =⇒ Ax n ⇀ Ax (dans H). 

II.3.– Montrer que si x n ⇀ x dans H alors elle est bornée et ‖x‖ ≤ lim inf 

n→∞ 

l’exercice I). 

‖x n‖ (utiliser 

II.4.– On suppose que x n ⇀ x dans H (convergence faible) et que z n → z dans H 

(convergence forte). 

II.4.i.– Prouver que (x n , z n ) → (x, z). 

II.4.ii.– On suppose que H est muni d’une base hilbertienne (e n ) n∈N , prouver que 

e n ⇀ 0. En déduire que l’hypothèse z n → z (convergence forte) est essentielle pour le 

résultat de II.4.i. 

Problème III : Soient ψ ∈ L 2 (R) et f ∈ L 2 ([0, ∞[×R), on considère le problème de 

Cauchy 

(1) ∂u 

(t, x) + xu(t, −x) = f(t, x), ∀(t, x) ∈ [0, ∞[×R 

∂t 

(2) 

u(0, x) = ψ(x) 

(1) n’est pas une équation différentielle! L’objectif est de prouver par la théorie de Hille- 

Yosida que le problème (1)-(2) admet une solution unique dans un espace fonctionnel 

adéquat. 

III.1.– On définit l’opérateur A par 

(Av)(x) = xv(−x), ∀x ∈ R. 

Prouver que A détermine un opérateur non borné sur L 2 (R) de domaine (à préciser) dense. 

Montrer que A est anti-adjoint et en déduire que A est maximal monotone. 

III.2.– On suppose que ψ ∈ D(A) et que f = 0, montrer par le théorème de Hille-Yosida 

que le problème de Cauchy (1)-(2) admet une solution unique dans C 1 ([0, ∞[, L 2 (R)) ∩ 

C([0, ∞[, D(A)) et que l’opérateur T (t)ψ = u(t, ·) se prolonge en une isométrie dans L 2 (R). 

III.3.– Montrer que la famille (T (t)) t≥0 se prolonge en un groupe d’isométrie (S(t)) t∈R à 

un paramètre (i.e S(t) = T (t), ∀t ≥ 0) qui vérifie 

dS(t) 

dt 

= −AS(t), ∀t ∈ R. 

III.4.– On suppose que ψ ∈ D(A) et que f ∈ C([0, ∞[, D(A)), à l’aide de la méthode de la 

variation de la constante déterminer la solution du problème de Cauchy (1)-(2) (justifier 

toutes les étapes de votre réponse!). 

III.5.– Ecrire une équation différentielle d’ordre deux sur u lorsque f = 0. En déduire 

l’expression explicite de T (t) et vérifier a posteriori les propriétés établies dans III.2., 

III.3. et III.4. 

Mastère de Mathématiques Appliquées 2/3

Examen – Analyse Fonctionnelle 12 janvier 2004 

Problème IV : Soient X et Y deux espaces de Hilbert réels tels que X s’injecte dans Y 

avec une injection continue et dense. Leurs produits scalaires sont respectivement notés 

(·, ·) X et (·, ·) Y . 

IV.1.– On note 

D = 

{ 

} 

x ∈ X; ∃C > 0, tel que |(x, y) X | ≤ C‖y‖ Y , ∀y ∈ X . 

Justifier que, pour tout x ∈ D, l’application y ↦→ (x, y) X se prolonge de manière unique 

en une forme linéaire continue sur Y . En déduire que, pour tout x ∈ D, il existe un 

unique x ∗ ∈ Y tel que (x, y) X = (x ∗ , y) Y , ∀y ∈ X. Dans la suite, D sera noté D(A) et A 

l’opérateur linéaire défini par Ax = x ∗ pour tout x ∈ D(A). Vérifier que D(A), muni de 

la norme du graphe, est un espace de Hilbert. 

IV.2.– Soit z ∈ Y , on considère l’équation : 

(3) 

chercher x ∈ D(A) tel que, Ax = z. 

IV.2.i.– Ecrire une formulation variationelle du problème (3) dans X. 

IV.2.ii.– On considère le problème faible qui consiste à 

(4) 

chercher x ∈ X tel que, (x, y) X = (z, y) Y , ∀y ∈ X. 

Montrer que le problème (4) admet une solution unique x ∈ X et que x est dans D(A). 

En déduire que le problème (3) admet une solution unique. 

IV.3.– Prouver que A est un isomorphisme de D(A) dans Y de domaine dense. 

IV.4.– On suppose que X = H 1 0(Ω), muni de la semi norme (qui est une norme!) et 

Y = L 2 (Ω), muni de sa norme naturelle où Ω est un domaine régulier de R d . Déterminer 

avec précision l’opérateur A (son domaine et son expression). 

Questions facultatives de bonification. 

IV.5.– On suppose qu’il existe une base orthonormée (e n ) n de l’espace Y telle que 

e n ∈ D(A) et Ae n = λ n e n . Vérifier que λ n > 0 et que par consequent (e n ) n est une 

base othogonale de X et calculer ‖e n ‖ X . 

IV.6.– Etablir que 

x = ∑ n 

x n e n ∈ D(A) ⇐⇒ ∑ n 

λ 2 nx 2 n < ∞, 

x = ∑ n 

x n e n ∈ X ⇐⇒ ∑ n 

λ n x 2 n < ∞. 

On écrit que X = D(A 1 2 ) et (D(A θ )) θ∈[0,1] où 

{ 

D(A θ ) = x ∈ Y, 

∑ 

n 

} 

λ 2θ 

n x 2 n < ∞ 

définit une famille décroissante d’espaces de Hilbert notée ([X, Y ] 1−θ ) θ∈[0,1] 

espaces d’interpolation entre X et Y . 

et appelés 


E.N.I.T. 


Examen (session de rattrapage) – Analyse Fonctionnelle 


Durée : 2H00 

Date : 13 mai 2004 


Il est recommandé aux candidats de répondre aux questions avec clarté et concision. 

Toute réponse imprécise sera considérée fausse. 

Bon Travail! 

Exercice I 

Soit E = C([0, 1], R) muni d’une norme ‖ · ‖ qui en fait un espace de Banach et telle 

que si (f n ) n converge vers f ∈ (E, ‖ · ‖) alors f n converge simplement vers f. On souhaite 

montrer que ‖ · ‖ et ‖ · ‖ ∞ sont équivalentes. La norme ‖ · ‖ ∞ est définie par 

‖f‖ ∞ = sup |f(t)|. 

t∈[0,1] 

I.1.– Montrer que D = {(x, x) ∈ E × E} muni de la norme ‖(x, x)‖ D = ‖x‖ + ‖x‖ ∞ est 

un espace de Banach. 

I.2.– Montrer que la fonction f(y, y) = y définie de D sur (E, ‖ · ‖) est continue ainsi que 

son inverse. Conclure. 

Exercice II 

Soit (H, (·, ·) H ) un espace de Hilbert. On dit (rapelle) qu’une suite (x n ) n de H converge 

faiblement vers x si pour tout y ∈ H, on a lim (x n , y) H = (x, y) H , et on rappelle que 

n→∞ 

toute suite faiblement convergente est bornée. 

Soient A ∈ L(H) et (x n ) n ∈ H une suite faiblement convergente vers 0. 

II.1.– Prouver que (Ax n ) n converge faiblement vers 0. 

II.2.– On suppose que l’image de tout borné de H par A est relativement compact dans 

H, ce qui signifie que son adhérence est un compact —on dit que A est un opérateur 

compact—. Montrer que (Ax n ) n converge fortement vers 0. 

Exercice III 

Soient E 1 ⊂ E 2 ⊂ E 3 trois espaces de Banach tels que l’injection i : E 1 → E 2 

est continue et compacte (voir II.2. pour la définition) et l’injection j : E 2 → E 3 est 

continue. 

III.1.– Montrer que pour tout ε > 0, il existe une constante C ε > 0 telle que 

‖x‖ E2 ≤ ε‖x‖ E1 + C ε ‖x‖ E3 , ∀x ∈ E 1 .

Examen – Analyse Fonctionnelle 13 mai 2004 

III.2.– Examiner le cas particulier où E 1 = H 2 (]0, 1[), E 2 = H 1 (]0, 1[) et E 3 = L 2 (]0, 1[) 

en répondant aux questions suivantes : 

III.2.1– Établir que pour tout ε > 0, il existe une constante C ε > 0 telle que 

‖u ′ ‖ L 2 (]0,1[) ≤ ε‖u ′′ ‖ L 2 (]0,1[) + C ε ‖u‖ L 2 (]0,1[), ∀u ∈ H 2 (]0, 1[). 

III.2.2– Expliquer pourquoi C ε explose lorsque ε tend vers zéro. Quelle est la valeur 

optimale de C ε 

III.3.– Qu’advient-t-il lorsque E 3 est de dimension finie 

Exercice IV 

On définit, pour tout t ∈ R, l’opérateur linéaire 

T (t) : L 2 (R) → L 2 (R) 

ψ ↦→ ϕ = T (t)ψ; ϕ(x) = ψ(x + t), ∀x ∈ R. 

IV.1.– Montrer T (t) est bien défini et que la famille (T (t)) t∈R détermine un groupe continu 

d’isométries sur L 2 (R). 

IV.2.– Donner le générateur infinitésimal (qu’on appellera A) de ce groupe —il s’agit de 

déterminer avec précision son domaine et son expression. 

IV.3.– En déduire, lorsque ψ ∈ H 1 (R), la solution de l’équation d’advection 

∂f 

∂t 

Que se passe-t-il si ψ ∈ L 2 (R) 

∂f 

(t, x) − (t, x) 

∂x 

= 0, ∀(t, x) ∈ [0, ∞[×R 

f(0, x) = ψ(x). 


E.N.I.T. 




Durée : 3H00 

Date : 4 février 2005 


Il est recommandé aux candidats de répondre aux questions avec clarté et concision, et d’éviter les 

fioritures (ezz-aïed w ett-balbiz!) qui risquent de pénaliser la note. Il est important de bien comprendre 

ce qui est demandé avant repondre aux questions 1 et de se contenter d’y répondre. 

Bon Travail! 

Exercice I : On considère l’espace des suites sommables 

{ 

l 1 (R) = u = (u n ) n≥1 ; 

∑ 

n≥1 

} 

|u n | < ∞ , 

muni de la norme 

‖u‖ l 1 = ∑ |u n |. 

n≥1 

On définit l’opérateur A de D(A) ⊂ l 1 (R) dans l 1 (R) par Au = (nu n ) n≥1 . 

I.1.– Après avoir précisé le domaine D(A), montrer que A est un opérateur fermé à domaine dense dans 

l 1 (R). 

I.2.– Etablir que l ∞ (R), l’espace des suites bornées, est le dual de l 1 (R) et déterminer l’opérateur adjoint 

(A ∗ , D(A ∗ )) ainsi que l’adhérence de D(A ∗ ) dans l ∞ (R). 

Exercice II : Soient A et B deux opérateurs linéaires continus sur un espace de Hilbert séparable H. 

On suppose que A est injectif et que B est compact (c’est-à-dire que si K ⊂ H est borné dans H alors 

B(K) ⊂ H est relativement compact). On suppose qu’il deux existe constantes C 1 > 0 et C 2 > 0 vérifiant 

(1) 

‖x‖ ≤ C 1 ‖Ax‖ + C 2 ‖Bx‖, ∀x ∈ H; 

II.1.– On suppose qu’il existe une suite (x n ) n de H vérifiant 

‖x n ‖ = 1, ‖Ax n ‖ ≤ 1 , ∀n ≥ 1; 

n 

II.1.1.– Dire pourquoi (x n ) n admet une sous-suite (x nk ) k qui converge faiblement dans H. On notera 

y sa limite. 

II.1.2.– Montrer que (Ax nk ) k converge faiblement vers Ay. 

II.1.3.– Vérifier que (Ax n ) n converge fortement vers 0. Que vaut alors y 

II.1.4.– Donner la limite de la suite (Bx nk ) k et déduire une absurdité. 

II.2.– On suppose toujours que l’inégalité (1) a lieu. 

II.2.1.– A l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer qu’il existe une constante C 3 > 0 telle que 

‖x‖ ≤ C 3 ‖Ax‖ ∀x ∈ H. 

II.2.2.– Montrer que (Im A) est fermé dans H. 

II.2.3.– En déduire que si A est de plus autoadjoint alors c’est un isomorphisme de H. 


Examen – Analyse Fonctionnelle 4 février 2005 

Exercice III : On considère, pour tout p ∈ N, l’espace de Hilbert 

{ 

∑ 

} 

H p = u = (u n ) n≥1 ; (n p u n ) 2 < ∞ , 


On définit la famille d’opérateurs (S(t)) t∈R par 

avec 

n≥1 

( ∑ 

‖u‖ Hp = (n p u n ) 2) 1 2 

. 

n≥1 

S(t) : H 1 × H 0 → H 1 × H 0 

(α, β) ↦→ (γ(t), δ(t)), 

γ n (t) = α n cos(nt) + β n 

n sin(nt), δ n(t) = −nα n sin(nt) + β n cos(nt). 

III.1.– Après avoir vérifié que S(t) est bien défini, prouver que la famille (S(t)) t∈R est un groupe continu 

d’isométries à un paramètre. 

III.2.– Donner son générateur infinitésimal A. Déterminer avec précision son domaine D(A) et son 

expression et vérifier que D(A) est dense dans H 1 × H 0 . 

III.3.– Montrer que A est maximal monotone (Il vous est demandé d’utiliser les définitions 2 ). En déduire 

qu’il est anti-adjoint. 

III.4.– Donner le système d’équations d’évolution sur (γ, δ) associé au groupe (S(t)) t∈R . Eliminer δ et 

donner l’équation d’ordre deux sur γ ainsi que les conditions initiales qu’elle vérifie en fonction de α et 

β. (C’est l’équation d’onde sur (0, π) décomposée sur la base de Fourrier). 

Exercice IV : On note H = L 2 (0, 2π), l’espace de Lebesgue standard muni de sa norme ‖ · ‖ L 2. Soit 

r ∈]0, 1[, on considère l’application 

k(y) = 

On définit l’opérateur intégral T sur H par 

1 − r 2 

1 + r 2 , ∀y ∈ [0, 2π]. 

− 2r cos(y) 

IV.1.– Etablir que 

T f(x) = 

∫ 2π 

0 

k(x − y)f(y) dy, 

∀f ∈ H, ∀x ∈ [0, 2π]. 

T f(x) = 

∫ 2π 

0 

f(y) dy + 2 ∑ p≥1 

∫ 2π 

r p f(y) cos(p(x − y)) dy. 

0 

IV.2.– Montrer que pour tout λ > 0, l’opérateur (I + λT ) est un isomorphisme autoadjoint. 

IV.3.– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de T . 

□ 

2 Toute réponse non-conforme à l’esprit de la question sera considérée fausse. 


E.N.I.T. 




Durée : 2H00 

Date : 1er juin 2005 


Exercice I : Soit H un espace de Hilbert et T : H → H un opérateur linéaire continu strictement 

contractant : 

‖T x‖ < ‖x‖, ∀x ∈ H \ {0}. 

I.1.– Est-ce que la suite (T k x = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )x) k converge pour tout x ∈ H lorsque la dimension de 

H est finie Lorqu’elle est infinie (Justifier). 

On suppose désormais que la dimension de H est infinie et que T est asymptotiquement régulier, c-à-d 

qu’il vérifie 

(1) 

On souhaite établir que 

lim x − T k+1 x) = 0, 

k→∞ 

∀x ∈ H. 

(2) 

lim x = 0, 

k→∞ 

∀x ∈ H. 

I.2.– Justifier brièvement que T admet un adjoint, noté T ∗ , qui est lui même un opérateur linéaire continu 

sur H. 

I.3.– Déterminer le noyau N(I − T ∗ ) de (I − T ∗ ). 

I.4.– L’espace image R(I − T ) est-il dense dans H Pourquoi 

I.5.– Montrer que la proporiété (2) est vraie pour tout x ∈ R(I − T ). 

I.6.– On considère l’ensemble { 

} 

D = x ∈ H, lim T k x = 0 . 

k→∞ 

Prouver qu’il est fermé et en déduire que (2) est vraie pour tout x ∈ H. 

I.7.– On considère l 2 (R) l’espace des suites à carré sommable muni de la norme 

( ∑ 

∞ 

‖x‖ l 2 = 

n=1 

x 2 n 

) 1 

2 

, ∀x = (x n ) n≥1 ∈ l 2 (R). 

On définit l’opérateur shift à gauche T ∈ L(l 2 (R)) par T x = y, avec y n = x n+1 , ∀n ≥ 1. Vérifier que T 

est contractant au sens large, i.e., ‖T x‖ l 2 ≤ ‖x‖ l 2, ∀x, et asymptotiquement régulier. Déterminer T ∗ , les 

noyaux ainsi que les images de (I − T ) et (I − T ∗ ). 

Exercice II : Soit Ω un ouvert borné régulier de R 2 . Pour tout u, v ∈ H 1 (Ω) on pose 

∫ 

∫ 

∫ 

c(u, v) = ∇u · ∇v dx + a(x)uv dx + b(x)uv dγ, 

Ω 

Ω 

∂Ω 

où a et b sont des fonctions continues sur Ω et ∂Ω respectivement et positives. 

II.1.– Vérifier que la forme bilinéaire c est bien définie. 

II.2.– Montrer c est coercive si et seulement si a(x) ≢ 0 ou b(x) ≢ 0. 

II.3.– On suppose désormais que a(x) ≢ 0 ou b(x) ≢ 0. Soit f ∈ L 2 (Ω) et g ∈ L 2 (∂Ω), on considère le 

problème variationnel : chercher u ∈ H 1 (Ω) tel que 

∫ ∫ 

c(u, v) = fv dx + gv dγ, ∀v ∈ H 1 (Ω). 

Ω 

∂Ω 

Montrer qu’il admet une solution unique et donner le problème fort dont u est solution. 

□

E.N.I.T. 



Enseignants : F. Ben Belgacem, B. Dehman et H. El Fekih 

Durée : 3H00 

Date : 16 Janvier 2006 


Il est recommandé aux candidats de répondre aux questions avec rigueur, clarté et concision, et d’éviter 

les fioritures (ezz-aïed w ett-balbiz!) qui risquent de pénaliser la note. Il est important de bien comprendre 

ce qui est demandé avant répondre aux questions 1 et de se contenter d’y répondre. 

Bon Travail! 

Problème I : 

Préambule: Lemme de Gronwall 

Soient m(·) ≥ 0 une fonction continue sur [0, 1] et α un réel ≥ 0. On considère ϕ(·) une fonction 

continue et positive sur [0, 1] telle que 

I.0.– Montrer que 

ϕ(x) ≤ α + 

∫ x 

0 

ϕ(x) ≤ α exp( 

m(t)ϕ(t) dt, ∀x ∈ [0, 1]. 

∫ x 

0 

m(t) dt), ∀x ∈ [0, 1]. 

Analyse du problème de Cauchy 

Soit I l’intervalle [0, 1], ω ≥ 0 et a(·) une fonction continue strictement positive sur I. Pour les 

données f ∈ L 2 (I) et β ∈ R, on considère le problème de Cauchy (qui n’est pas un problème aux limites!) 

⎧ 

−(au ′ ) ′ + ωu = f, dans I 

⎪⎨ 

(1) 

u(0) = 0 

. 

⎪⎩ 

a(0)u ′ (0) = β 

I.1.– On suppose que le problme (1) admet une solution dans u ∈ H 1 (I). Pourquoi au ′ ∈ H 1 (I) En 

déduire que la solution u est unique et qu’elle est de classe C 1 sur I —On pourra utiliser le lemme de 

Gronwall sur la fonction |u(·)|—. 

I.2.– Soit γ ∈ R, on considère le problème aux limites : chercher w ∈ H 1 (I) tel que 

⎧ 

−(aw ′ ) ′ + ωw = f, dans I 

⎪⎨ 

(2) 

w(0) = 0 

. 

⎪⎩ 

w(1) = γ 

Donner la formulation variationnelle de (2) et montrer qu’elle admet une solution unique dans w ∈ H 1 (I). 

I.3.– On suppose que f = 0, monter que l’application γ ↦→ a(0)w ′ (0), est bijective sur R. En déduire que 

le problème (1) admet une solution u ∈ H 1 (I) qui est donc unique. Étendre le résultat d’existence au 

cas où f ∈ L 2 (I) est arbitraire. 

I.4.– On suppose que f ∈ L ∞ (I) et que u ∈ H 1 (I) est solution de (1), établir que 

‖u‖ L∞ (I) ≤ C(ω)(|β| + ‖f‖ L∞ (I)), 


et fournir une estimation de la constante C(ω). 

I.5.– On introduit l’espace 

{ 

} 

V = v ∗ = (v D , v N ) ∈ H 1 (I) × H 1 (I), v D (0) = 0, v D (1) = v N (1) , 

et on considère le problème variationnel : chercher u ∗ ∈ V tel que 

∫ 

∫ 

∫ 

(au ′ D v′ D + ωu Dv D ) dx − (au ′ N v′ N + ωu Nv N ) dx = f(v D − v N ) dx − βv N (0), 

I 

I.5.1– On suppose que cet espace est muni de la norme 

Montrer que la semi-norme 

est une norme équivalente à la norme ‖ · ‖ V . 

I 

‖v ∗ ‖ V = ‖v D ‖ H1 (I) + ‖v N ‖ H1 (I), ∀v ∗ ∈ V. 

|v ∗ | V = ‖v ′ D ‖ L 2 (I) + ‖v ′ N ‖ L 2 (I), ∀v ∗ ∈ V, 

I 

∀v ∗ ∈ V. 

I.5.2– Par des choix judicieux de v ∗ (= (v D , 0) d’abord et = (0, v N ) ensuite), établir que 

⎧ 

⎧ 

⎨ −(au ′ D )′ + ωu D = f, dans I ⎨ −(au ′ N )′ + ωu N = f, dans I 

⎩ 

u D (0) = 0 

⎩ 

a(0)u ′ N (0) = 

β 

I.5.3– Montrer que 

u ′ D(1) = u ′ N(1). 

I.6– Écrire un problème (de Cauchy) sur w = u D − u N et en déduire que u D = u N = u, où u est la 

solution du problème de Cauchy (1). 

Dans toute la suite on suppose que f = 0 et ω = 0. 

I.7– On note w γ D ∈ H1 (I) et w γ,β 

N 

∈ H1 (I) les solutions de 

⎧ 

−(aw ′ ⎧ 

D 

⎪⎨ 

= 0, dans I 

−(aw N ′ 

⎪⎨ 

= 0, dans I 

⎪⎩ 

w D (0) = 0 

a(0)w N ′ (0) = β 

. 

⎪⎩ 

w D (1) = γ 

w N (1) = γ 

Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que w ∗ = u ∗ , est que γ soit solution de l’équation 

algébrique 

sγ = g, 

avec s = s D − s N , où 

∫ 

∫ 

s D = a[(wD 1 )′ (x)] 2 dx, s N = 

I 

I.8– Après avoir formulé le problème faible sur w 1,0 

N 

s D > s N > 0. 

I 

a[(w 1,0 

N )′ (x)] 2 dx, et g = a(1)(w 0,β 

N )′ (1). 

comme un problème de minimisation, vérifier que 

I.9– En déduire que la suite (γ k ) k ⊂ R définie par la relation de récurrence 

est convergente et que w γ k 

D 

s D γ k+1 − s N γ k = g, 

et wγ k,β 

N 

convergent dans H 1 (I) vers u, la solution du problème de Cauchy 2 . 

2 Le problème de Cauchy (1), dit aussi de complétion de données, pose de grandes difficultés de résolution numérique 


Problème II : 

Soit Ω ⊂ R 2 un domaine borné et régulier. On considère l’espace de Sobolev H0 1 (Ω) muni de la 

semi-norme 

|v| H 1 (Ω) = ‖∇v‖ L 2 (Ω) 2, ∀v ∈ H1 0 (Ω). 

On rappelle qu’elle est une norme équivalente à la norme ‖·‖ H1 (Ω), par l’inégalité de Poincaré. On définit 

l’espace H 2 0 (Ω) comme la fermeture de D(Ω) dans H 2 (Ω), et la semi-norme est donnée par 

|v| H 2 (Ω) = 

II.1.— Soit la semi-norme 

établir que 

Raisonner par densité. 

( 

‖∂ 2 xxv‖ 2 L 2 (Ω) + ‖∂2 xyv‖ 2 L 2 (Ω) + ‖∂2 yyv‖ 2 L 2 (Ω) 

|v| ∆ = ‖∆v‖ L2 (Ω), 

|v| H 2 (Ω) ≤ ‖∆v‖ L 2 (Ω) ≤ 2|v| H 2 (Ω), 

) 1 

2 

∀v ∈ H 2 0 (Ω), 

, ∀v ∈ H 2 0 (Ω). 

∀v ∈ H 2 0 (Ω). 

II.2.– Montrer que | · | ∆ détermine en fait une norme sur H 2 0 (Ω) qui est équivalente à la norme ‖ · ‖ H 2 (Ω). 

Pour tout g ∈ H0 1(Ω) on considère le problème variationnel : chercher u ∈ H 0 2 (Ω) tel que 

∫ 

∫ 

(3) 

∆u∆v dx = ∇g · ∇v dx, ∀v ∈ H0 2 (Ω). 

Ω 

Ω 

II.3.— Montrer que l’application R : g ↦→ u, (u est solution de (3)) est bien définie de H0 1(Ω) dans H 0 2(Ω), 

justifier rigoureusement votre réponse. Montrer qu’elle est continue. En déduire qu’elle est compacte et 

auto-adjointe de H0 1 (Ω) dans lui même. 

II.4.— Montrer par le théorème de Hilbert-Schmidt, qu’il existe une base Hilbertienne (e k ) k 

(H0 1(Ω), | · | H 1 (Ω)), et une suite de réels (λ k ) k ⊂]0, +∞[ telles que 

de 

∆ 2 e k = −λ k ∆e k , dans Ω 

∂ n e k = 0, sur ∂Ω 

avec ∆ 2 (·) = ∆∆(·), ∂ n désigne la dérivée normale et ∂Ω est le bord de Ω. Vérifier que λ k → ∞. A-t-on 

∆e k = −λ k e k 

II.5.— Établir que (e k) k est une famille orthogonale qui est dense dans H 2 0 (Ω). 

II.6.— On se place dans le cas où Ω =]0, 1[. Construire (e k ) k ⊂ H 2 0 (]0, 1[) et (λ k) k ⊂ R. En déduire la 

plus petite constante γ vérifiant 

|v| H 1 (Ω) ≤ γ|v| ∆ , ∀v ∈ H 2 0 (]0, 1[). 

pour les grandes valeurs de ω. En effet, dans ce cas, le taux de convergence (= s D 

sN 

) de l’algorithme de Richardson défini 

dans I.9 est très proche de 1 et la convergence est très lente. Ces observations s’aggravent de manière drastique en 

dimension supérieure. On dit que le problème de Cauchy est instable ou mal-posé. Si vous voulez en savoir plus, consulter 

l’URL, (http://mip.ups-tlse.fr/~belgacem/Cauchy.html). 


E.N.I.T. 


Examen Session de rattrapage – Analyse Fonctionnelle 

Enseignants : F. Ben Belgacem, B. Dehman et H. El Fekih 

Durée : 3H00 

Date : 2 Mai 2006 


Exercice I : Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, et T : H → H un opérateur linéaire, 

continu, symétrique et tel que, 

On suppose aussi que (I − T ) est compact. 

0 < (T x, x) < ‖x‖ 2 , ∀x ∈ H \ {0}. 


‖T x‖ < ‖x‖, ∀x ∈ H \ {0}. 

I.2.– Pour tout x ∈ H, on construit la suite (x n ) n comme suit : x 0 = x et x n+1 = T x n . Montrer 

que la suite (‖x n+1 − x n ‖) n converge dans R. 

I.3.– Montrer qu’il existe une sous-suite (x nk ) k telle que (x nk +1 − x nk ) k converge vers y dans H. 

I.4.– Établir que ‖y‖ = ‖T y‖ et en déduire que y = 0. 

I.5.– Conclure que la suite (x n+1 −x n ) n converge vers zéro. (Cette propriété fait de T un opérateur 

asymptotiquement régulier sur H). 

I.6.– Prouver que pour tout x ∈ R(I − T ) la suite (x n ) n converge vers zéro. (R(I − T ) désigne 

l’image de I − T ). 

I.7.– Justifier que R(I − T ) est dense dans H, et montrer que (x n ) n converge vers zéro pour tout 

x ∈ H. 

I.8.– Prouver qu’il existe une base hilbertienne (e k ) k ⊂ H, formée des vecteurs propres de T . On 

note (λ k ) k les valeurs propres associées, c’est-à-dire que T e k = λ k e k . Établir que λ k ∈]0, 1[, ∀k, et 

que la suite (λ k ) k converge vers 1. 

I.9.– Redémontrer le résultat de I.7 (x n → 0) en utilisant la décomposition spectrale de T . On 

supposera que les (λ k ) k sont triées dans un ordre croissant. 

Exercice II : 

On considère l’espace de Hilbert complexe 

L 2 (0, 1) = 

muni du propduit scalaire 

{ 

v : ]0, 1[→ C, mesurable tel que 

(v, w) L 2 (0,1) = 

∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

v(x)w(x) dx. 

} 

|v(x)| 2 dx < ∞ 

L’espace de Sobolev complexe d’ordre 1 est noté H0 1 (0, 1), il est muni du produit scalaire hilbertien 

∫ 1 

(v, w) H 1 

0 (0,1) = v ′ (x)w ′ (x) dx. 

0

Examen Session de rattrapage – Analyse Fonctionnelle 2 Mai 2006 

II.1.– Montrer que si e ≠ 0 est dans H0 1 (0, 1) et tel que 

∫ 1 

alors λ est un réel > 0. 

0 

e ′ (x)w ′ (x) dx = λ 

∫ 1 

0 

e(x)w(x) dx, ∀w ∈ H 1 0 (0, 1), 

Soit (e k ) k∈N la base hilbertienne de L 2 (0, 1) formée des vecteurs propres du laplacien. C’est-à-dire 

qu’il existe une suite (λ k ) k∈N positive et croissante telle que 

∫ 1 

0 

∫ 1 

e ′ k (x)w′ (x)dx = λ k e k (x)w(x) dx, ∀w ∈ H0 1 (0, 1). 

0 

II.2.– Montrer que (e k ) k∈N forme une base orthogonale de H0 1 (0, 1) et que 

∫ 1 

0 

|e ′ k (x)|2 dx = λ k . 

On considère le problème de Schrödinger 

i∂ t u + ∂xxu 2 = 0, dans ]0, +∞[×]0, 1[, 

u(t, 0) = u(t, 1) = 0, t ∈]0, +∞[ 

u(0, .) = u 0 (.), x ∈]0, 1[. 

II.3.– On cherche u ∈ C([0, ∞[, H0 1 (0, 1)). Énoncer la formulation variationnelle du problème. 

II.4.– On suppose que u 0 ∈ H0 1 (0, 1) et on admet que le problème faible possède une solution 

unique u ∈ C([0, ∞[, H0 1(0, 1)). Donner le développement de u(t) sur la base (e k) k∈N . Vérifier que 

la série ainsi obtenue converge dans C([0, ∞[, H0 1 (0, 1)). 

II.5.– Calculer ‖u(t)‖ L 2 (0,1) et |u(t)| H 1 (0,1) en fonction de ‖u 0 ‖ L 2 (0,1) et de |u 0 | H 1 (0,1). (| · | H 1 (0,1) 

désigne la norme sur H 1 0 (0, 1) associée à (·, ·) H 1 (0,1)). 

II.6.– On pose u(t) = G(t)u 0 , t ≥ 0. Montrer que cette définition s’étend aux t < 0 et que la 

famille (G(t)) t∈R est un groupe continu d’isométries sur L 2 (0, 1) et sur H0 1 (0, 1). 

II.7.– On prend u 0 ∈ H0 1 (0, 1) tel que u′′ 0 ∈ L2 (0, 1). Montrer que l’application t ↦→ G(t)u 0 est de 

classe C 1 de R sur L 2 (0, 1). Que se passe-t-il si H0 1(0, 1) rempalce L2 (0, 1) dans l’espace d’arrivé de 

l’application t ↦→ G(t)u 0 . 

□ 


E.N.I.T. 



Enseignants : F. Ben Belgacem, B. Dehman, H. El Fekih 

Durée : 3H00 

Date : 09 Fécrier 2007 




ce qui est demandé avant de répondre aux questions 1 et de se contenter d’y répondre. 

Bon Travail! 

Exercice I : On considère H un espace de Hilbert réel de dimension infinie et A ∈ L(H) un opérateur 

linéaire compact sur H. Tout au long de l’exercice α désigne un réel strictement positif. 

I.1.— A peut-il être un isomorphisme 

Partie 1 

On suppose que A est injectif. Une famille (R α ) α∈]0,∞[ ⊂ L(H) est dite régularisante pour A si 

lim R αAx = x, ∀x ∈ H. 

α→0 

I.2— Montrer que (R α A) α ne converge pas dans L(H) lorsque α tend vers 0 (Raisonnner par l’absurde. 

On rappelle que l’espace K(H) des opérateurs compact sur H est fermé dans L(H)). 

I.3— En déduire que (R α ) α ne peut pas converger pas dans L(H) lorsque α tend vers 0 . 

Partie 2 (Régularisation de Lavrentiev) 

On suppose que A autoadjoint, semi-défini positif et injectif. L’objectif de la partie 2 est de montrer 

que (αI + A) −1 , est une famille régularisante pour A. 

I.4.— Montrer que (αI + A) est inversible sur H. 

I.5.— Soit x ∈ H, on pose f = Ax et 

J(y) = 1 (Ay, y) − (f, y), 

2 

J α (y) = 1 2 α‖y‖2 + 1 2 (Ay, y) − (f, y) = 1 2 α‖y‖2 + J(y), 

et on note x α la solution de (αI + A)x α = f. Vérifier que 

J(x) ≤ J(y), et J α (x α ) ≤ J α (y), ∀y ∈ H. 

I.6.— En utilisant I.5. montrer que la suite (‖x α ‖) α est montone et que ‖x α ‖ ≤ ‖x‖. 

I.7.— En déduire que Ax α converge fortement vers f, et qu’il existe une sous-suite (α n ) n avec α n → 0 

et (x αn ) n converge faiblement vers x. 

I.8.— Montrer que 

Déduire de I.6. que ‖x α ‖ converge vers ‖x‖. 

‖x‖ ≤ lim inf 

n→∞ ‖x α n 

‖. 

I.9.— Etablir que 

α 

2 ‖x α − x‖ 2 + (A(x α − x), x α − x) = α 2 (‖x‖2 − ‖x α ‖ 2 ), 

et en déduire que ((αI + A) −1 ) α est une famille régularisante pour A. 


Examen – Analyse Fonctionnelle 09 Février 2007 

Partie 3 (Régularisation de Tikhonov et inverse de Moore-Penrose) 

On suppose seulement que A et injectif est on souhaite établir que la famille (αI + A ∗ A) −1 A ∗ est 

régularisante pour A, A ∗ est l’adjoint de A dont on justifiera l’existence. 

I.10.— Montrer que (αI + A ∗ A) est inversible sur H. 

I.11.— Montrer que (αI + A ∗ A) −1 A ∗ est régularisante (suivre le raisonnement de la partie II). 

I.12.— Soit f ∈ H, x α = (αI + A ∗ A) −1 A ∗ f et on pose 

J α (y) = 1 2 α‖y‖2 + 1 ‖Ay − f‖2 

2 

Montrer que x α est l’unique solution du problème d’optimisation 

J α (x α ) = min 

y∈H J α(y). 

I.13.— (Question Facultative, Bonus : 3 points) 

On ne fait plus l’hypothèse que A est injectif. Soit x ∈ H et f = Ax. Montrer que (αI + A ∗ A) −1 A ∗ f 

converge vers une limite x † unique telle que Ax † = f et que ‖x † ‖ ≤ ‖x‖. L’application A † : f ↦→ x † est 

appelée l’inverse de Moore-Penrose de A. 

Exercice II : On définit, pour tout t ∈ R, l’opérateur linéaire 

T (t) : L 2 (R) → L 2 (R) 

ψ ↦→ ϕ = T (t)ψ; ϕ(x) = ψ(x − t), ∀x ∈ R. 

II.1.– Montrer T (t) est bien défini et que la famille (T (t)) t∈R détermine un groupe continu d’isométries 

sur L 2 (R). 

II.2.– En déduire que, lorsque ψ ∈ H 1 (R), ϕ = T (t)ψ est la solution de l’equation d’advection 

∂f 

∂t 

∂f 

(t, x) + (t, x) 

∂x 

= 0, dans ]0, +∞[×R 

f(0, x) = ψ(x), pour x ∈ R. 

Que se passe-t-il si ψ ∈ L 2 (R) (Remarquez que lorsque ψ ∈ L 2 (R), f ∈ L 2 ([0, T ] × R), ∀ T > 0, et 

utilisez la densité.) 

II.3.– On définit l’opérateur A dans L 2 (R) par 

et 

D(A) = 

{ 

ψ ∈ L 2 (R); 

(T (h) − I) 

} 

lim 

ψ existe dans L 2 (R) , 

h→0 h 

(T (h) − I) 

Aψ = lim 

ψ. 

h→0 h 

Montrer que D(A) = H 1 (R) (on rappelle que pour ψ ∈ H 1 (R), on a : ψ(x+h)−ψ(x) = ∫ 1 

0 ψ′ (x+sh) ds), 

et que Aψ = −ψ ′ . 

On dit que A est le générateur infinitésimal de ce groupe (T (t)) t∈R . 


E.N.I.T. 


Examen Session de Rattrapage – Analyse Fonctionnelle 

Enseignants : F. Ben Belgacem – B. Dehman – H. El Fekih 

Durée : 2H30 

Date : 17 Mai 2007 





Bon Travail! 

Exercice I : On pose I = [0, π], et V = L 2 (I) × L 2 (I), muni du produit scalaire naturel noté (·, ·) V 

la norme associée est ‖ · ‖ V . On considère l’opérateur A défini par 

( 

) 

( ) 

−∂ 

AY = 

x z 

y 

−∂ x y − ∂xxz 

2 , ∀Y = ∈ V. 

z 

et 

I.1.– Déterminer avec précision le domaine de A. Vérifier qu’il est dense et que le graphe G(A) est fermé. 

I.2.– Donner le noyau et l’image de A. 

I.3.– Donner l’adjoint A ∗ (déterminer avec précision son domaine et son expression). 

I.4.– Donner le noyau et l’image de A ∗ . 

I.5.– On considère le sous-espace de V , 

V 0 = 

{ 

Y ∈ V, 

∫ 

I 

} 

y(x) dx = 0 . 

On définit l’opérateur B sur V 0 de la manière suivante 

{ 

} 

D(B) = Y ∈ V 0 , z ∈ H0 1 (I), y + ∂ x z ∈ H 1 (I) , 

et 

BY = AY, 

∀Y ∈ D(B). 

Donner le noyau et l’image de B. En déduire que B est un isomorphisme de (D(B), ‖ · ‖ D(B) ) dans V 0 . 

I.6.– Montrer que pour tout λ > 0, l’opérateur (λI +B) est un isomorphisme de (D(B), ‖·‖ D(B) ) dans V 0 . 

I.7.– Pour tout n ≥ 1, introduisons le sous-espace W n de V 0 , 

{ 

W n = Y ∈ V 0 , y(x) = α cos(nx), z(x) = γ sin(nx), (α, γ) ∈ R 2} . 

Vérifier que W n ⊂ D(B), qu’il est stable par B et que la famille (W n ) n est une somme orthogonale de 

V 0 dense. En déduire la décomposition spectrale de B. 

I.8.– Est-ce que B −1 est compacte dans V 0 Qu’en-est-il de la compacité de (λI + B) −1 


Examen Session de Rattrapage – Analyse Fonctionnelle 17 Mai 2007 

Exercice II : Soient ψ ∈ L 2 (R) et f ∈ L 2 ([0, ∞[×R), on considère le problème de Cauchy 

(1) ∂u 

(t, x) + xu(t, −x) = f(t, x), ∀(t, x) ∈ R × R 

∂t 

(2) 

u(0, x) = ψ(x) 

(1) n’est pas une équation différentielle! 

L’objectif est de prouver que le problème (1)-(2) admet une solution unique dans un espace fonctionnel 

adéquat. 

II.1.– On définit l’opérateur A par 

(Av)(x) = xv(−x), ∀x ∈ R. 

Prouver que A détermine un opérateur non borné sur L 2 (R) de domaine (à préciser) dense. Montrer que 

A est anti-adjoint 

II.2.– Soit λ > 0, l’opérateur (I + λA) est-il inversible sur L 2 (R) Donner une estimation de son inverse. 

II.3.– Est-ce que l’opérateur A est diagonalisable Peut-on utiliser la méthode de Fourier pour résoudre 

(1)-(2) 

II.4.– On suppose que ψ ∈ D(A) et f = 0. Donner l’expression explicite de u et vérifer que 

u ∈ C 1 ([0, ∞[, L 2 (R)) ∩ C([0, ∞[, D(A)). En déduire que u(t, ·) = S(t)ψ, ∀t ∈ R. Prouver que (S(t)) t∈R 

est un groupe d’isométrie à un paramètre qui vérifie 

dS(t) 

dt 

= −AS(t), ∀t ∈ R. 

II.5.– On suppose que ψ ∈ D(A) et que f ∈ C([0, ∞[, D(A)), déterminer la solution u du problème de 

Cauchy (1)-(2) en précisant sa régularité (justifier toutes les étapes de votre réponse!). 


E.N.I.T. 



Enseignants : F. Ben Belgacem et H. El Fekih 

Durée : 3H00 

Date : 4 Février 2008 


Il est recommandé aux candidats de répondre aux questions avec rigueur, clarté et concision, 

et d’éviter les fioritures (ezz-aïed w ett-balbiz!) qui risquent de pénaliser la note. Il est important 

de bien comprendre ce qui est demandé avant de répondre aux questions 1 et de se contenter d’y 

répondre. 

Bon Travail! 

Exercice I : On considère H un espace de Hilbert réel de dimension infinie et A un opérateur 

linéaire, compact et injectif sur H. 

I.1.— Montrer que l’inverse de A n’est pas continu. 

I.2.— Montrer à l’aide du théorème de Riesz( 2 ) que pour tout λ ∈ R ∗ , le noyau N(λI − A) de 

λI − A est de dimension finie. 

I.3.— On note R(A) l’image de A. Peut-elle être de dimension finie Montrer que R(A) ne peut 

pas être fermée. 

Exercice II : On considère l 2 (R) l’espace des suites à carré sommable muni de la norme 

( ∑ 

∞ 

‖x‖ l 2 = 

k=1 

x 2 k 

) 1 

2 

, ∀x = (x k ) k≥1 ∈ l 2 (R). 

On rappelle que l 2 (R), muni de ‖ · ‖ l 2, est un espace de Hilbert. 

Soit (α k ) k ⊂ R ∗ une suite bornée. On définit l’opérateur 

T : l 2 (R) → l 2 (R) 

x ↦→ y = (y k ) k ; avec y k = α k x k , ∀k ≥ 1. 

II.1.— Donner le noyau de T et montrer que l’image de T est dense dans l 2 (R). 

II.2.— On suppose (uniquement dans cette question) qu’il existe γ > 0 telle que |α k | ≥ γ, ∀k ≥ 1. 

T définit-il un isomorphisme de l 2 (R) Justifier votre réponse. 

II.3.— On suppose dans toute la suite que (α k ) k converge vers zéro. L’image de T peut-elle être 

fermée Justifier votre réponse. 

II.4.— Soit (x n ) n≥1 ⊂ l 2 (R) une suite bornée dans l 2 (R), c’est-à-dire qu’il existe une constante C 

telle que ‖x n ‖ l 2 ≤ C, ∀n ≥ 1. Montrer qu’il existe une suite-extraite (x np ) p≥1 et x ∈ l 2 (R) telle 

(x np ) p≥1 converge faiblement vers x dans l 2 (R). 

II.5.— Montrer que la suite (T x np ) p≥1 converge fortement vers T x dans l 2 (R). En déduire que 

l’opérateur T est compact. 

1 Ce qui se pense clairement s’exprime simplement! Dicton français. 

2 Les seuls espaces vectoriels normés où la boule unité est compacte sont les espaces de dimension finie.


Exercice III : On note 

H 2 0 (]0, 1[) = 

On considère le problème différentiel 

{ 

} 

v ∈ H 2 (]0, 1[); v(0) = v(1) = v ′ (0) = v ′ (1) = 0 . 

z ′′′′ + cz = f, dans ]0, 1[ 

z ′ (0) = z ′ (1) = 0, 

z(0) = z(1) = 0, 

où f est une fonction donnée dans L 2 (]0, 1[) et c est une fonction donnée dans C 0 ([0, 1]). 

III.1.– Donner la formulation variationnelle du problème et montrer qu’elle admet une unique solution 

z (On sera pour cela amené à faire des hypothèses sur c. Qu’elles soient le plus faibles possible!) 

III.2.– Exprimer le problème comme un problème de minimisation. 

III.3.– Montrer que la solution z est dans H 4 (]0, 1[). 

Exercice IV : Soit µ > 0 et ϕ ∈ L 2 (I) avec I =]0, π[ . On considère l’équation de la chaleur sur I : 

∂ t z µ − µ∂ 2 xxz µ = 0, dans ]0, ∞[×I 

z µ (t, 0) = z µ (t, π) = 0, sur ]0, ∞[ 

z µ (0, ·) = ϕ, sur I. 

IV.1.– Montrer que z µ (t, ·) ∈ H 1 (I), pour tout t > 0. 

IV.2.– Montrer que 

∂ t (‖z µ (t, ·)‖ 2 L 2 (I) ) = −2µ‖∂ xz µ (t, ·)‖ 2 L 2 (I), ∀t > 0. 

IV.3.– En déduire qu’il existe une constant C > 0 telle que 

∂ t (‖z µ (t, ·)‖ 2 L 2 (I) ) ≤ −2µ 

C ‖z µ(t, ·)‖ 2 L 2 (I), ∀t > 0. 

IV.4.– Calculer les limites suivantes dans L 2 (I), 

lim z µ(t, ·), (∀µ > 0) et lim z µ(t, ·), (∀t > 0). 

t→+∞ µ→+∞ 

IV.5.– On considère maintenant le problème de la chaleur avec des conditions de Neumann 

homogènes, 


∂ x z µ (t, 0) = ∂ x z µ (t, π) = 0, sur ]0, ∞[ 

z µ (0, ·) = ϕ, sur I, 

avec ϕ ∈ H 1 (I). Montrer les limites suivantes dans L 2 (I) : 

∫ 

∫ 

lim u µ(t, ·) = ϕ(x) dx, (∀µ > 0) et lim u µ(t, ·) = 

t→+∞ µ→+∞ 

I 

I 

ϕ(x) dx, (∀t > 0). 

□ 


E.N.I.T. 


Examen Session de Rattrapage – Analyse Fonctionnelle 


Durée : 3H00 

Date : 9 Mai 2008 

Documents non autorisés 

Exercice I : Soient A et B deux opérateurs linéaires continus sur un espace de Hilbert séparable 

H. On suppose que A est injectif et que B est compact (c’est-à-dire que si K ⊂ H est borné dans 

H alors B(K) ⊂ H est relativement compact). On suppose qu’il deux existe constantes C 1 > 0 et 

C 2 > 0 vérifiant 

(1) 

‖x‖ ≤ C 1 ‖Ax‖ + C 2 ‖Bx‖, ∀x ∈ H; 

I.1.– On suppose qu’il existe une suite (x n ) n de H vérifiant 

‖x n ‖ = 1, ‖Ax n ‖ ≤ 1 , ∀n ≥ 1; 

n 

I.1.1.– Dire pourquoi (x n ) n admet une sous-suite (x nk ) k qui converge faiblement dans H. On 

notera y sa limite. 

I.1.2.– Montrer que (Ax nk ) k converge faiblement vers Ay. 

I.1.3.– Vérifier que (Ax n ) n converge fortement vers 0. Que vaut alors y 

I.1.4.– Donner la limite de la suite (Bx nk ) k et déduire une absurdité. 

I.2.– On suppose toujours que l’inégalité (1) a lieu. 

I.2.1.– A l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer qu’il existe une constante C 3 > 0 

telle que 

‖x‖ ≤ C 3 ‖Ax‖ ∀x ∈ H. 

I.2.2.– Montrer que (Im A) est fermé dans H. 

I.2.3.– En déduire que si A est de plus autoadjoint alors c’est un isomorphisme de H. 

Exercice II : On note 

H 2 0(]0,1[) = 

On considère le problème différentiel 

{ 

} 

v ∈ H 2 (]0,1[); v(0) = v(1) = v ′ (0) = v ′ (1) = 0 . 

z ′′′′ + cz = f, dans ]0,1[ 

z ′ (0) = z ′ (1) = 0, 

z(0) = z(1) = 0, 

où f est une fonction donnée dans L 2 (]0,1[) et c est une fonction donnée dans C 0 ([0,1]). 

II.1.– Donner la formulation variationnelle du problème et montrer qu’elle admet une unique solution 

z (On sera pour cela amené à faire des hypothèses sur c. Qu’elles soient le plus faibles possible!) 

II.2.– Exprimer le problème comme un problème de minimisation. 

I.3.– Montrer que la solution z est dans H 4 (]0,1[). 


Exercice III : Soit µ > 0 et ϕ ∈ L 2 (I) avec I =]0,π[ . On considère l’équation de la chaleur sur I : 


z µ (t,0) = z µ (t,π) = 0, sur ]0, ∞[ 

z µ (0, ·) = ϕ, sur I. 

III.1.– Montrer que z µ (t, ·) ∈ H 1 (I), pour tout t > 0. 

III.2.– Montrer que 

∂ t (‖z µ (t, ·)‖ 2 L 2 (I) ) = −2µ‖∂ xz µ (t, ·)‖ 2 L 2 (I), ∀t > 0. 

III.3.– En déduire qu’il existe une constant C > 0 telle que 

∂ t (‖z µ (t, ·)‖ 2 L 2 (I) ) ≤ −2µ 

C ‖z µ(t, ·)‖ 2 L 2 (I), ∀t > 0. 

III.4.– Calculer les limites suivantes dans L 2 (I), 

lim z µ(t, ·), (∀µ > 0) et lim z µ(t, ·), (∀t > 0). 

t→+∞ µ→+∞ 

III.5.– On considère maintenant le problème de la chaleur avec des conditions de Neumann 

homogènes, 


∂ x z µ (t,0) = ∂ x z µ (t,π) = 0, sur ]0, ∞[ 

z µ (0, ·) = ϕ, sur I, 

avec ϕ ∈ H 1 (I). Montrer les limites suivantes dans L 2 (I) : 

∫ 

∫ 

lim u µ(t, ·) = ϕ(x) dx, (∀µ > 0) et lim u µ(t, ·) = 

t→+∞ µ→+∞ 

I 

I 

ϕ(x) dx, (∀t > 0). 

□ 


E.N.I.T. 




Durée : 3H00 





ce qui est demandé avant de répondre aux questions( 1 ) et de se contenter d’y répondre. 

Bon Travail! 

Exercice I : Soit H un espace de Hilbert et H 1 et H 2 deux sous-espaces fermés de H. On note P 1 et P 2 

les projections orthogonales sur H 1 et H 2 , et on pose Q 1 = I − P 1 et Q 2 = I − P 2 . 

I.1.— Montrer que H 1 + H 2 est dense dans H si et seulement si H ⊥ 1 ∩ H ⊥ 2 = {0} où H ⊥ 1 (resp. H ⊥ 2 ) est 

le sous-espace othogonal à H 1 (resp. H ⊥ 2 ).. 

On suppose dans toute la suite que H ⊥ 1 ∩ H ⊥ 2 = {0}. Soit e 0 ∈ H. On construit la suite (e n ) n ⊂ H 

telle que 

e 2n+1 = Q 1 e 2n , e 2n+2 = Q 2 e 2n+1 . 

I.2.— Etablir que 

‖e n+1 ‖ 2 + ‖e n+1 − e n ‖ 2 = ‖e n ‖ 2 , ∀n ∈ N. 

En déduire que (e n+1 − e n ) n converge vers 0, que (‖e n ‖) n converge et qu’il existe une sous-suite (e np ) p 

qui converge faiblement vers e. 

I.3.— En remarquant que (e np+1) p converge faiblement vers une limite f, montrer que e = f = 0. En 

déduire que toute la suite (e n ) n converge faiblement vers 0. 

I.4.— Prouver que (e n ) n converge fortement vers 0. 

Exercice II : On considère H l’espace de Hilbert des suites à carré sommable 

{ 

H = x = (x k ) k∈Z , ‖x‖ 2 H = 

k∈Z(x ∑ } 

k ) 2 < ∞ . 

On définit l’opérateur A sur H de la façon suivante 

On note σ(A) le spectre de A. 

Ax = y ⇐⇒ y k = −x k+1 + 2x k − x k−1 , ∀k ∈ Z. 

II.1.— Montrer que A est continue symétrique et défini-positif sur H. 

II.2.— Considérons α > 0. Soit z ∈ H. Donner la formulation variationnelle du problème 

(αI + A)x = z, 

et montrer qu’il admet une solution unique x ∈ H. En déduire que (αI + A) est un isomorphisme sur H. 

II.3.— Montrer que 

(Ax, x) 

(Ax, x) 

sup 

x∈H ‖x‖ 2 = 4, inf 

H 

x∈H ‖x‖ 2 = 0. 

H 

Pour la calcul de l’inf, considérer x N ∈ H avec (x N ) k = 1 si −N ≤ k ≤ N et (x N ) k = 0 sinon. 

Débrouillez-vous pour le sup. 

En déduire que le spectre σ(A) est une partie de [0, 4]. 


Examen – Analyse Fonctionnelle 19 Janvier 2009 

II.4.— Prouver que 0 et 4 sont dans le spectre σ(A). Sont-ils valeurs propres de A 

II.5.— Montrer que R(A) est dense et non fermé. 

II.6.— La norme 

‖x‖ 2 = ∑ (x k+1 − x k ) 2 

k∈Z 

définit-elle une structure d’espace de Hilbert sur H 

II.7.— Montrer que A ne possède aucune valeur propre. En déduire que pour tout λ ∈ σ(A), on a 

N (A − λI) = {0}, R(A − λI) est dense dans H sans être fermé et que (A − λI) −1 n’est pas continu. 

On dit que le spectre de A est purement continu. A est-il compact 

II.8.— Montrer que σ(A) = [0, 4]. 

Une preuve possible consiste à utiliser l’isométrie( 2 ) d’espaces de Hilbert de (H, ‖ · ‖ H ) dans (V, ‖ · ‖ V ) où 

{ 

V = f(t) = ∑ } 

x k e ikt , x ∈ H , 

k∈Z 


‖f‖ 2 V = 

∫ π 

−π 

|f(t)| 2 dt. 

Exercice III : Soir c ∈ R. On définit, pour tout t ∈ R, l’opérateur linéaire 

T (t) : L 2 (R) → L 2 (R) 

ψ ↦→ ϕ = T (t)ψ; ϕ(x) = ψ(x − ct), ∀x ∈ R. 

III.1.– Montrer T (t) est bien défini et que la famille (T (t)) t∈R détermine un groupe continu d’isométries 

sur L 2 (R). 

III.2.– En déduire que, lorsque ψ ∈ H 1 (R), ϕ = T (t)ψ est la solution de l’equation d’advection 

∂f 

∂t 

Que se passe-t-il si ψ ∈ L 2 (R) 

(t, x) + c∂f (t, x) 

∂x 

= 0, ∀(t, x) ∈]0, +∞[×R 

f(0, x) = ψ(x). 

III.3.– On définit l’opérateur A dans L 2 (R) par 

{ 

D(A) = ψ ∈ L 2 (T (h) − I) 

} 

(R); lim 

ψ existe dans L 2 (R) , 

h→0 h 

et 

(T (h) − I) 

Aψ = lim 

ψ. 

h→0 h 

Montrer que D(A) = H 1 (R) et déterminer l’expression de A. On dit que A est le générateur infinitésimal 

de ce groupe (T (t)) t∈R . 

III.4.– Soit donné k ∈ L 2 ([0, ∞[×R) et on suppose que ψ ∈ H 1 (R). Exprimer en fonction de l’opérateur 

T (t) la solution du problème 

∂f 

∂t 

(t, x) + c∂f (t, x) 

∂x 

= k(t, x), ∀(t, x) ∈]0, ∞[×R 

f(0, x) = ψ(x). 

Indication : Calculer la dérivée de la fonction γ(t) = f(t, α + ct) où α ∈ R 

III.5.– Montrer que la solution f vérifie 

‖f(t)‖ L 2 (R) ≤ ‖ψ‖ L 2 (R) + 

2 C’est le théorème de Parseval. 

∫ t 

0 

‖k(s)‖ L 2 (R) ds. 

□ 


E.N.I.T. 


Examen Session de rattrapage – Analyse Fonctionnelle 


Durée : 3H00 

Date : 22 Mai 2009 


Exercice I : Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, et T : H → H un opérateur linéaire, 

continu, symétrique et tel que, 

On suppose aussi que (I − T ) est compact. 

0 < (T x, x) < ‖x‖ 2 , ∀x ∈ H \ {0}. 


‖T x‖ < ‖x‖, ∀x ∈ H \ {0}. 

I.2.– Pour tout x ∈ H, on construit la suite (x n ) n comme suit : x 0 = x et x n+1 = T x n . Montrer 

que la suite (‖x n+1 − x n ‖) n converge dans R. 

I.3.– Montrer qu’il existe une sous-suite (x nk ) k telle que (x nk +1 − x nk ) k converge vers y dans H. 

I.4.– Établir que ‖y‖ = ‖T y‖ et en déduire que y = 0. 

I.5.– Conclure que la suite (x n+1 −x n ) n converge vers zéro. (Cette propriété fait de T un opérateur 

asymptotiquement régulier sur H). 

I.6.– Prouver que pour tout x ∈ R(I − T ) la suite (x n ) n converge vers zéro. (R(I − T ) désigne 

l’image de I − T ). 

I.7.– Justifier que R(I − T ) est dense dans H, et montrer que (x n ) n converge vers zéro pour tout 

x ∈ H. 

I.8.– Prouver qu’il existe une base hilbertienne (e k ) k ⊂ H, formée des vecteurs propres de T . On 

note (λ k ) k les valeurs propres associées, c’est-à-dire que T e k = λ k e k . Établir que λ k ∈]0, 1[, ∀k, et 

que la suite (λ k ) k converge vers 1. 

I.9.– Redémontrer le résultat de I.7 (x n → 0) en utilisant la décomposition spectrale de T . On 

supposera que les (λ k ) k sont triées dans un ordre croissant. 

Exercice II : 

Soit Ω ⊂ R 2 un domaine borné et régulier. On considère l’espace de Sobolev H0 1 (Ω) muni de la 

semi-norme 

|v| H 1 (Ω) = ‖∇v‖ L 2 (Ω) 2, ∀v ∈ H1 0 (Ω). 

On rappelle qu’elle est une norme équivalente à la norme ‖ · ‖ H 1 (Ω), par l’inégalité de Poincaré. On 

définit l’espace H 2 0 (Ω) comme la fermeture de D(Ω) dans H2 (Ω), et la semi-norme est donnée par 

|v| H 2 (Ω) = 

( 

‖∂ 2 xxv‖ 2 L 2 (Ω) + ‖∂2 xyv‖ 2 L 2 (Ω) + ‖∂2 yyv‖ 2 L 2 (Ω) 

) 1 

2 

, ∀v ∈ H 2 0 (Ω).

Examen Session de rattrapage – Analyse Fonctionnelle 22 Mai 2009 

II.1.— Soit la semi-norme 

|v| ∆ = ‖∆v‖ L 2 (Ω), ∀v ∈ H0 2 (Ω), 

établir que 

|v| H 2 (Ω) ≤ ‖∆v‖ L 2 (Ω) ≤ 2|v| H 2 (Ω), ∀v ∈ H0 2 (Ω). 

Raisonner par densité. 

II.2.– Montrer que | · | ∆ détermine en fait une norme sur H0 2 (Ω) qui est équivalente à la norme 

‖ · ‖ H 2 (Ω). 

Pour tout g ∈ H0 1(Ω) on considère le problème variationnel : chercher u ∈ H2 0 (Ω) tel que 

∫ 

∫ 

(1) 

∆u∆v dx = ∇g · ∇v dx, ∀v ∈ H0 2 (Ω). 

Ω 

Ω 

II.3.— Montrer que l’application R : g ↦→ u, (u est solution de (1)) est bien définie de H0 1 (Ω) dans 

H0 2 (Ω), justifier rigoureusement votre réponse. Montrer qu’elle est continue. En déduire qu’elle est 

compacte et auto-adjointe de H0 1 (Ω) dans lui même. 

II.4.— Montrer par le théorème de Hilbert-Schmidt, qu’il existe une base Hilbertienne (e k ) k de 

(H 1 0 (Ω), | · | H 1 (Ω)), et une suite de réels (λ k ) k ⊂]0, +∞[ telles que 

∆ 2 e k = −λ k ∆e k , dans Ω 

∂ n e k = 0, sur ∂Ω 

avec ∆ 2 (·) = ∆∆(·), ∂ n désigne la dérivée normale et ∂Ω est le bord de Ω. Vérifier que λ k → ∞. 

A-t-on ∆e k = −λ k e k 

II.5.— Établir que (e k) k est une famille orthogonale qui est dense dans H 2 0 (Ω). 

II.6.— On se place dans le cas où Ω =]0, 1[. Construire (e k ) k ⊂ H 2 0 (]0, 1[) et (λ k) k ⊂ R. En déduire 

la plus petite constante γ vérifiant 

|v| H 1 (Ω) ≤ γ|v| ∆ , ∀v ∈ H 2 0 (]0, 1[). 

□ 


E.N.I.T. 




Durée : 3H00 






Bon Travail! 

Exercice I : Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, muni de la norme ‖ · ‖ et T : H → H un 

opérateur linéaire, continu, et tel que N(T ) = {0}. Soit b ∈ H, on cherche à résoudre l’équation 

(1) 

T ∗ T x = b. 

0.– Donner le noyau N(T ∗ T ). On note R(T ∗ T ) l’image de T ∗ T . Est-elle dense dans H fermée 

Partie 1 

On suppose dans cette partie que l’équation (1) admet une solution pour tout b. 

1.1– Montrer que T ∗ T est un isomorhpishme. 

1.2– Montrer que R(T ) est fermé. En déduire qu’il existe β > 0 tel que 

‖T y‖ ≥ β‖y‖, ∀y ∈ H. 

1.3– Montrer que R(T ∗ ) est fermé et en déduire que T ∗ definit un isomoprhisme de R(T ) sur H. 

1.4– Est ce que T est nécessairement un isomorphisme sur H : Examiner l’application shift à droite 

sur l 2 (R), definie par 

T : x = (x 0 , x 1 , · · · , x n , · · ·) ↦→ T x = (0, x 0 , x 1 , · · · , x n , · · ·) 

1.5– On suppose que T T ∗ est lui aussi un isomorphisme sur H. Etablir que T et T ∗ sont des isomorphismes 

sur H. 

Partie 2 

On suppose dans toute la suite que T est compact et que N(T ∗ ) = {0}. 

2.1– Le problème (1) a-t-il toujours une solution Jusitfer votre réponse. 

2.2.– Lorsque l’équation (1) ne peut pas être résolue, on la remplace par la minimisation de la fonctionnelle 

quadratique 

J(y) = 1 2 (T ∗ T y, y) − (b, y) = 1 2 ‖T y‖2 − (b, y), ∀y ∈ H. 

On suppose que J est minorée sur H et donc γ = inf J(y) est fini. On suppose que ce minimum est 

atteint en x. Montrer que x est la solution de (1) et en déduire que b = T ∗ d, où d ∈ H. 

2.3.– On supposse que l’infimum n’est pas atteint mais que γ > −∞. En considérant J(ty), ∀t ∈ R, ∀y ∈ 

H, montrer que 

(b, y) ≤ √ −2γ ‖T y‖ ∀y ∈ H. 


Examen – Analyse Fonctionnelle 16 Janvier 2010 

2.4.– Montrer que la forme linéaire définie sur R(T ) par 

l : z ↦→ (b, y), où z = T y, 

se prolonge par continuité à H. En déduire qu’il existe d ∈ H tel que b = T ∗ d et 

J(y) = 1 2 ‖T y − d‖2 − 1 2 ‖d‖2 , ∀y ∈ H. 

avec ‖d‖ = √ −2γ. J est donc une fonctionnelle de moindres-carrés qui a une très grande importance 

pour une certaine classe de problèmes. 

Exercice II : 

Soit Ω ⊂ R 2 un domaine borné régulier. On définit l’espace 

H = 

{ 

v ∈ H0 1 (Ω), ∆v ∈ L 2 (Ω) 

} 

. 


Soit la semi-norme |v| H = ‖∆v‖ L 2 (Ω). 

‖v‖ H = (‖v‖ 2 H 1 (Ω) + ‖∆v‖2 L 2 (Ω) )1/2 , ∀v ∈ H. 

1.— Montrer que | · | H est une norme et que (H, | · | H ) est un espace de Hilbert. 

2.— Montrer que (−∆) : H → L 2 (Ω) est un isomorphisme symétrique et défini-positif. 

3.— Montrer que l’injection canonique de H dans H 1 0 (Ω) est continue et dense. 

4.— Pour les domaines Ω réguliers, on admet que H coïncide avec H 2 ∩ H 1 0 (Ω) (H = H 2 ∩ H 1 0 (Ω)). 

Montrer que les normes | · | H et ‖ · ‖ H 2 (Ω) sont équivalentes. 

5.— Vérifier que l’application R : (−∆) −1 est autoadjointe. Montrer qu’elle est compacte de L 2 (Ω) dans 

L 2 (Ω). 

6.— Utiliser le théorème de Hilbert-Schmidt, pour établir l’existence d’une base Hilbertienne (ζ k ) k≥1 de 

L 2 (Ω), et une suite de réels (λ k ) k ⊂]0, +∞[ telles que 

Vérifier que λ k → ∞. 

−∆ζ k = λ k ζ k , dans Ω 

ζ k = 0, sur ∂Ω 

7.— On se place dans le cas où Ω =]0, 1[. Construire (ζ k ) k≥1 et (λ k ) k ⊂ R. En déduire la plus petite 

constante γ de l’inégalité de Poincaré, qui vérifie donc 

‖v‖ L 2 (Ω) ≤ γ|v| H 1 (Ω), 

∀v ∈ H 1 0 (Ω). 

8.— On souhaite montrer que pour certains domaines Ω non réguliers, le résultat de 4. est faux. Soit C 

le secteur du disque unité d’angle ω ∈]π, 2π[. 

C = 

{ 

(x, y) = (r cos θ, r sin θ), 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ ω 

} 

. 

On pose f = sin( π ω θ) ∈ L2 (C). On cherche u = α(r) sin( π ω 

θ) vérifiant 

−∆u = f, dans C 

u = 0, sur ∂C 

Donner l’équation sur α. La résoudre (chercher des solution de type r b , b ∈ R. En déduire que u ∈ H et 

u ∉ H 2 (C). 

□ 


E.N.I.T. 


Examen Session de Rattrapage 



Durée : 3H00 

Date : Mercredi 2 Juin 2010 


Exercice I : 

Soit Ω ⊂ R 2 un domaine borné régulier. On définit l’espace 

{ 

} 

H = v ∈ H0(Ω), 

1 ∆v ∈ L 2 (Ω) . 


Soit la semi-norme |v| H = ‖∆v‖ L 2 (Ω). 

‖v‖ H = (‖v‖ 2 H 1 (Ω) + ‖∆v‖2 L 2 (Ω) )1/2 , ∀v ∈ H. 

1.— Montrer que | · | H est une norme et que (H, | · | H ) est un espace de Hilbert. 

2.— Montrer que (−∆) : H → L 2 (Ω) est un isomorphisme symétrique et défini-positif. 

3.— Montrer que l’injection canonique de H dans H 1 0(Ω) est continue et dense. 

4.— Pour les domaines Ω réguliers, on admet que H coïncide avec H 2 ∩ H 1 0(Ω) (H = 

H 2 ∩ H 1 0(Ω)). Montrer que les normes | · | H et ‖ · ‖ H 2 (Ω) sont équivalentes. 

5.— Vérifier que l’application R = (−∆) −1 est autoadjointe. Montrer qu’elle est compacte 

de L 2 (Ω) dans L 2 (Ω). 

6.— Utiliser le théorème de Hilbert-Schmidt, pour établir l’existence d’une base Hilbertienne 

(ζ k ) k≥1 de L 2 (Ω), et une suite de réels (λ k ) k ⊂]0, +∞[ telles que 

Vérifier que λ k → ∞. 

−∆ζ k = λ k ζ k , dans Ω 

ζ k = 0, sur ∂Ω 

Exercice II : Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, muni de la norme ‖ · ‖ et 

T : H → H un opérateur linéaire, continu, et tel que N(T ) = {0}. Soit b ∈ H, on cherche 

à résoudre l’équation 

(1) 

T ∗ T x = b. 

0.– Donner le noyau N(T ∗ T ). On note R(T ∗ T ) l’image de T ∗ T . Est-elle dense dans H 

fermée

Examen – Analyse Fonctionnelle Mercredi 2 Juin 2010 

Partie 1 

On suppose dans cette partie que l’équation (1) admet une solution pour tout b. 

1.1– Montrer que T ∗ T est un isomorhpishme. 

1.2– Montrer que R(T ) est fermé. En déduire qu’il existe β > 0 tel que 

‖T y‖ ≥ β‖y‖, ∀y ∈ H. 

1.3– Montrer que R(T ∗ ) est fermé et en déduire que T ∗ definit un isomoprhisme de R(T ) 

sur H. 

1.4– Est ce que T est nécessairement un isomorphisme sur H : Examiner l’application 

shift à droite sur l 2 (R), definie par 

T : x = (x 0 , x 1 , · · · , x n , · · ·) ↦→ T x = (0, x 0 , x 1 , · · · , x n , · · ·) 

1.5– On suppose que T T ∗ est lui aussi un isomorphisme sur H. Etablir que T et T ∗ sont 

des isomorphismes sur H. 

Partie 2 

On suppose dans toute la suite que T est compact et que N(T ∗ ) = {0}. 

2.1– Le problème (1) a-t-il toujours une solution Jusitfer votre réponse. 

2.2.– Lorsque l’équation (1) ne peut pas être résolue, on la remplace par la minimisation 

de la fonctionnelle quadratique 

J(y) = 1 2 (T ∗ T y, y) − (b, y) = 1 2 ‖T y‖2 − (b, y), ∀y ∈ H. 

On suppose que J est minorée sur H et donc γ = inf J(y) est fini. On suppose que ce 

minimum est atteint en x. Montrer que x est la solution de (1) et en déduire que b = T ∗ d, 

où d ∈ H. 

2.3.– On supposse que l’infimum n’est pas atteint mais que γ > −∞. En considérant 

J(ty), ∀t ∈ R, ∀y ∈ H, montrer que 

(b, y) ≤ √ −2γ ‖T y‖ ∀y ∈ H. 

2.4.– Montrer que la forme linéaire définie sur R(T ) par 

l : z ↦→ (b, y), où z = T y, 

se prolonge par continuité à H. En déduire qu’il existe d ∈ H tel que b = T ∗ d et 

J(y) = 1 2 ‖T y − d‖2 − 1 2 ‖d‖2 , ∀y ∈ H. 

avec ‖d‖ = √ −2γ. J est donc une fonctionnelle de moindres-carrés qui a une très grande 

importance pour une certaine classe de problèmes. 

□ 


E.N.I.T. 


Date : 11 Février 2011 



Durée : 3H00 



les fioritures (ezz-aïed w ett-balbiz!). Il est important de bien comprendre ce qui est demandé avant de 

répondre aux questions 1 et de se contenter d’y répondre. 

Bon Travail! 

Exercice I : 

On considère E un espace de Banach réel. 

I.1.– Soit H un sous-espace vectoriel de E d’intérieur non vide. Déterminer H avec précision en justifiant 

votre réponse. 

I.2.– Soit A un opérateur non borné, fermé, et de domaine D(A) dense dans E. On suppose ici qu’il 

existe une constante γ telle que 

γ‖x‖ ≤ ‖Ax‖, ∀x ∈ D(A) 

I.2.1– Montrer que l’image R(A) est fermé. En déduire que A −1 est borné de R(A) dans E. 

I.2.2– On suppose que D(A) est muni de la norme du graphe. Vérifier que A est un isomorphisme 

de D(A) dans R(A). 

I.3.— On suppose que A est injectif et que A −1 n’est pas borné. Montrer que l’ensemble E \ R(A) est 

dense dans E (Utiliser I.1.). 

Exercice II : 

Soit Ω un ouvert régulier de R 2 (ou R 3 ) de frontière Γ et r un réel > 0. On considère le sous-espace de 

L 2 (Ω), 

{ 

} 

N r = ϕ ∈ L 2 (Ω); −∆ϕ + rϕ = 0 in D ′ (Ω) . 

II.1.— Vérifier que N r est fermé dans L 2 (Ω). En déduire qu’il forme un espace de Hilbert lorsqu’il est 

muni de la norme de L 2 (Ω). Est-ce que N r est un sous-espace de H 1 (Ω) 

II.2.— Soit χ ∈ N 1 . On considère le problème aux limites : chercher ϱ tel que 

−∆ϱ + rϱ = (1 − r)χ 

ϱ = 0 sur Γ. 

dans Ω 

Ecrire la formulation variationnelle du problème et prouver qu’il admet une solution unique ϱ ∈ H 1 0 (Ω). 

En déduire que l’opérateur A : χ ↦→ Aχ = χ+ϱ est bien défini de N 1 dans N r et que (Aχ−χ) ∈ H 1 0 (Ω). 

II.3.— Prouver que A est bijectif. 

II.4.— On suppose que r > 1. Montrer que 

1 

r ‖χ‖ L 2 (Ω) ≤ ‖Aχ‖ L2 (Ω) ≤ ‖χ‖ L2 (Ω), ∀χ ∈ N 1 . 

II.5.— En déduire que A est un isomorphisme d’espace de Hilbert. 



Exercice III : 

Soit µ > 0, a ∈ R et ϕ ∈ L 2 (I) avec I =]0, π[ . On considère l’équation sur I, 

∂ t z µ − µ∂ 2 xxz µ + a∂ x z µ = 0, dans ]0, ∞[×I 

z µ (t, 0) = z µ (t, π) = 0, sur ]0, ∞[ 

z µ (0, ·) = ϕ, sur I. 

III.1.— Ecrire la formulation variationnelle de ce problème. 

Dans la suite, on suppose que ce problème variationnel admet une solution unique z µ ∈ C([0, ∞[, L 2 (I)) ∩ 

L 2 ([0, T ], H 1 (I)), pour tout T > 0. 

III.2.— Soit γ un fonction dérivable et strictement positive dans [0, ∞[ qui vérifie 

γ ′ (t) ≤ −λγ(t), 

∀t. 

On suppose que λ > 0. Vérifier que 

γ(t) ≤ γ(0)e −λt , 

∀t. 

III.3.– Montrer que 

1 

2 ∂ t(‖z µ ‖ 2 L 2 (I) ) + µ‖∂ xz µ ‖ 2 L 2 (I) = 0, ∀t > 0. 

III.4.– En déduire qu’il existe une constant β > 0 telle que 

∂ t (‖z µ ‖ 2 L 2 (I) ) ≤ −2βµ‖z µ‖ 2 L 2 (I), ∀t > 0. 

III.5.– Calculer les limites suivantes dans L 2 (I), (utiliser III.2.) 

lim ‖z µ(t, ·)‖ L 

t→+∞ 2 (I), (∀µ > 0)) et lim ‖z µ(t, ·)‖ L 

µ→+∞ 2 (I), (∀t > 0)). 

III.6.– En déduire qu’en fait z µ ∈ L 2 ([0, +∞[, H 1 (I)). 

III.7.– Montrer que qu’il existe une constante C > 0 indépendante de µ qui vérifie 

‖z µ ‖ L2 ([0,T ]×I) ≤ C. 

En déduire que z µ converge faiblement vers une fonction z dans L 2 ([0, T ] × I) lorsque µ → 0. Vérifer 

qu’on a au sens des distributions : 

∂ t z + a∂ x z = 0, 

dans ]0, T [×I 

□ 


E.N.I.T. 

Examen Session de Rattrapage 



Date : Mercredi 15 Juin 2011 


Durée : 3H00 

Documents non autorisés 

Exercice I 

Soient X et Y deux espaces de Hilbert réels tels que X s’injecte dans Y avec une injection continue et 

dense. Leurs produits scalaires sont respectivement notés (·, ·) X et (·, ·) Y . 

1– On note 

D = 

{ 

} 

x ∈ X; ∃C > 0, tel que |(x, y) X | ≤ C‖y‖ Y , ∀y ∈ X . 

1.1– Justifier que, pour tout x ∈ D, l’application y ↦→ (x, y) X se prolonge de manière unique en une 

forme linéaire continue sur Y . 

1.2–En déduire que, pour tout x ∈ D, il existe un unique x ∗ ∈ Y tel que (x, y) X = (x ∗ , y) Y , ∀y ∈ X. 

Dans la suite, D sera noté D(A) et A l’opérateur linéaire défini par Ax = x ∗ pour tout x ∈ D(A). 

2– Vérifier que D(A), muni de la norme du graphe, est un espace de Hilbert. 

3.– Soit z ∈ Y , on considère l’équation : 

(1) 

chercher x ∈ D(A) tel que, Ax = z. 

3.1– Ecrire une formulation variationelle du problème (1) dans X. 

3.2– On considère le problème faible qui consiste à 

(2) 

chercher x ∈ X tel que, (x, y) X = (z, y) Y , ∀y ∈ X. 

Montrer que le problème (2) admet une solution unique x ∈ X et que x est dans D(A). 

En déduire que le problème (1) admet une solution unique. 

4– Prouver que A est un isomorphisme de D(A) dans Y de domaine dense. 

5– On suppose que X = H 1 0 (Ω) est muni de la semi norme (qui est une norme!) et que Y = L 2 (Ω) est muni 

de sa norme naturelle, où Ω est un domaine régulier de R d . 

Déterminer avec précision l’opérateur A (son domaine et son expression). 

6– On suppose qu’il existe une base orthonormée (e n ) n de l’espace Y telle que e n ∈ D(A) et Ae n = λ n e n . 

Vérifier que λ n > 0 et que par consequent (e n ) n est une base othogonale de X et calculer ‖e n ‖ X . 

7– Etablir que 

x = ∑ n 

x n e n ∈ D(A) ⇐⇒ ∑ n 

λ 2 nx 2 n < ∞, 

x = ∑ n 

x n e n ∈ X ⇐⇒ ∑ n 

λ n x 2 n < ∞. 

On écrit que X = D(A 1 2 ) et (D(A θ )) θ∈[0,1] où 

D(A θ ) = 

{ 

x ∈ Y, 

∑ 

n 

} 

λ 2θ 

n x 2 n < ∞ 

définit une famille décroissante d’espaces de Hilbert notée ([X, Y ] 1−θ ) θ∈[0,1] et appelés espaces d’interpolation 

entre X et Y .

Examen – Analyse Fonctionnelle Mercredi 15 Juin 2011 

Exercice II 

Soit Ω un ouvert connexe borné de R 2 à frontière Γ régulière. 

Préliminaire : Soit g ∈ L 2 (Ω) vérifiant ∫ Ω g dx = 0. On suppose que toute solution w ∈ H1 (Ω) du problème 

{ −∆w = g, dans Ω 

∂w 

∂n = 0, sur Γ 

vérifie w ∈ H 2 (Ω) et ‖w‖ H 2 (Ω) ≤ C‖g‖ L 2 (Ω), où C est une constante > 0. 

On se donne une fonction f ∈ L 2 (Ω) et on considère le problème variationnel suivant : 

⎧ 

⎨ Chercher u ∈ H 

∫ 

1 (Ω) tel que (∫ ) (∫ ) ∫ 

(P ) 

⎩ ∀ v ∈ H 1 (Ω), ∇u.∇v dx + λ u dx v dx = fv dx 

Ω 

Ω 

Ω 

Ω 

où λ est un réel ≥ 1. 

Partie 1 .— 1.1. Montrer qu’il existe une constante C 1 > 0 telle que : 

∣∫ 

∣∣∣ 

∀v ∈ H 1 (Ω), ‖v‖ 2 H 1 (Ω) ≤ C 1 

[|v| 2 H 1 (Ω) + ] 

v dx∣ 

. 

∣2 

—Indication : raisonner par l’absurde et utiliser la compacité de l’injection canonique de H 1 (Ω) dans L 2 (Ω)—. 

1.2. En déduire que le problème (P) admet une solution et une seule u vérifiant : 

où C 2 est une constante > 0 indépendante de λ. 

‖u‖ H1 (Ω) ≤ C 2 ‖f‖ L2 (Ω) 

1.3. Montrer qu’il existe une constante C 3 > 0 indépendante de λ telle que : 

∫ 

∣ u dx 

∣ ≤ C 3 

λ ‖f‖ L 2 (Ω) 

1.4. Ecrire (formellement) le poblème fort associé à (P). 

Ω 

1.5. En déduire que la solution u de (P) est dans H 2 (Ω) et vérifie ‖u‖ H2 (Ω) ≤ C 4 ‖f‖ L2 (Ω), avec C 4 une 

constante > 0 indépendante de λ. 

Partie 2.— On note désormais u λ la solution du problème (P). On définit l’espace 

{ 

∫ 

} 

W = v ∈ H 1 (Ω), v(x) dx = 0 , 

et on désigne par u l’unique solution du problème 

⎧ 

⎨ Chercher u∫∈ W tel que ∫ 

(P ′ ) 

⎩ ∀ v ∈ W, ∇u.∇v dx = 

—Ce problème est bien posé (à ne pas démontrer).— 

Ω 

Ω 

Ω 

Ω 

fv dx 

2.1. On suppose que ∫ Ω f(x) dx = 0. Montrer que pour tout λ ≥ 1 la solution u λ coïncide avec u. 

2.2. Dans le cas où l’hypothèse ∫ f(x) dx = 0 n’est plus vérifiée, prouver que 

Ω 

∫ 

∀ v ∈ W, ∇(u λ − u).∇v dx = 0. 

En déduire que 

et que 

avec C > 0 une constante indépendante de λ. 

Commenter. 

Ω 

λ(u λ − u) = 1 

|Ω| 

∫Ω 

2 f(x) dx, 

‖u λ − u‖ H 1 (Ω) ≤ C λ ‖f‖ L 2 (Ω), 

□

Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

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